第2章 平面向量 单元测试-【优鸿】高中必修4数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学必修4 第⼆章 平⾯向量 第二章 单元测试 1. 若 是夹角为 的两个单位向量，则 ; 的夹角为(    ). A. B. C. D. 2. 设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题为真命题的是(      ). ① ； ② ； ③ 不与 垂直； ④ . A. ②③ B. ②④ C. ①② D. ③④ 3. 已知非零向量 与 满足 且 ，则 ABC为(      ). A. 三边均不相等的三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰非等边三角形 4. 已知向量 ，设 ，那么下列各 组中三点一定共线的是(      ). A. B. C. D. 5. 在 中，M是BC的中点， ，点P在AM上且满足 ，则 等于(      ). A. B. C. D. 6. 如下图，M、N分别是AB、AC的一个三等分点，且 成立，则 (      ). A. B. C. D. 7. 已知 中， ， ，则 与 的夹角为(      ). A. B. C. D. 或 8. 已知向量 ， ， ．若 与 共线，则 ___________. 9. 向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角 的余弦值等于__________. 10. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 __________. 11. 设向量 ，且 ，则m=_________. 12. 已知 是不共线的向量， ，若 三点共线，则 _____________. 13. 设向量 ，向量 ，且向量 ，当 时， 的坐标是_____________. 14. 已知向量 ，若 与 垂直，则实数k等于 _____________. 15. 设 与 的夹角为 ，且 ， ，则 =__________. 16. 已知单位向量 和 的夹角为 ，求证： ，并解释其几何意义. 17. 如图所示，支座A受 、 两个力的作用，已知 ，与水平线成 角； ，沿水平方向；两个力的合力 ，求角 以及合力F与水平方向的夹 角 .（备注：若 ，当 时，则 ，当 时， ，当 时， ，当 时，则 .） 18. 已知 ，试判断 与 是否互相垂直. 19. 对于两个非零不共线向量 ，求使 最小时t的值，并求出此时 与 的夹角. 20. 设两向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 21. 已知向量 . (1)求证： ； (2)是否存在不等于0的实数k和t，使 ，且 ？如果存在，试确定k和t的关系. 参考答案 1 D 2 B 3 B 4 B 5 D 6 A 7 C 8 1 9 10 2 11 12 1 13 14 15 1 16 ∵ 和 均为单位向量， ∴ . ∵ 和 的夹⻆为 ， ∴ . ∵ ， ， ∴ . ∴ ， ∴ ， ∴ . 作出单位向量 ，使得 ，如图所⽰： 由 向量的夹⻆为 ，作出单位向量 ，使得 ，如图所⽰： 作出 ，使得 ，如图所⽰： 作出 ，即 ，如图所⽰： ∵ ， ， ∴由 可得 ，则 为直⻆三⻆形. ∵ 的夹⻆为 ， ∴结合图形可知， ， ∵ 为直⻆三⻆形， ∵ ， ， ∴ ， 结合图形可知， 为直⻆ 的 ⻆的对边的⻓， 为直⻆ 的斜边的⻓. ∴单位向量 的夹⻆为 ， 的⼏何意义为：在有⼀个⻆是 的直 ⻆三⻆形中， ⻆所对的边是斜边的⼀半. 17 ； 18 垂直 19 20 21 （1） ∵ ， ∴
. （2） 存在； 且