北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高三下学期3月零模数学试题

1 北京师范大学附属实验中学 2023－2024 学年度第二学期 高三数学“零模”试卷（2024.3） 班级 姓名 学号 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分） 1. 已知集合 { 3, 2,0,1,4}A = − − ， 2{ | 4}B x x= ≤ ，则 A B = A. {0,1,4} B. { 2,0,1}− C. { 2,0,1,4}− D. { 3, 2,0,1}− − 2. 记复数 i 1 i z = + 的共轭复数为 z ，则 z z− = A. 1 B. 1− C. i D. i− 3. 已知曲线 2 2 2 1( 0) 2 x y b b − =  的焦距为 4，则其离心率为 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 2 4. 设等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知 3 8a = ， 9 36S = ，则 4a = A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 5. 在 5( 2 )x x− 的展开式中， 4x 项的系数为 A. 20− B. 20 C. 40− D. 40 6. ABC△ 中， 30A = ， 60B = ， 4AB = ，则将 ABC△ 以 AB 为轴旋转一周所形成的 几何体的体积为 A.  B.  C.  D.  7. 函数 2 1 ( ) 1 f x x = + ，记 1 ( ) 2 a f= − ， 0.5(3 )b f −= ， 5 1 (log ) 2 c f= ，则 A. a b c  B. b a c  C. c a b  D. c b a  8. 已知函数 ( ) sin cosf x x x= ，将 ( )f x 的图像向左平移 6  个单位后得到函数 ( )g x 的图像， 若 ( )f x 和 ( )g x 在区间 (0, )t 上均单调递增，则 t 的最大值为 A. 12  B. 4  C. 3  D. 3  2 9. 已知 ,a b为不共线的两个单位向量， , 为非零实数，设 + =c a b，则“ = ”是 “ , ,  =  a c b c ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知直线 : 2 2 0l x y+ − = ，圆 2 2 2: ( 0)x y r r + =  ，若直线 l 上存在两点 ,A B ，圆 上存在点C ，使得 | | 2AB = ，且 90ACB = ，则 r 的取值范围是 A. [1,3] B. [2,3] C. [1, )+ D. [2, )+ 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分） 11. 已知向量 (1,2)=a ， (7, 1)= −b ， ( )k− ⊥a b a ，则 k = . 12. 已知 满足： tan 2 = − ，则 sin = ； cos2 = . 13. 设点 0 0( , )P x y 在抛物线 2: 8C x y= 上，已知 (0,2)A ， (0, 2)B − . 若 | | 5AP = ，则 0y = ；若 0 0x  ，则直线 BP斜率的最小值为 . 14. 四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD为矩形， 6AB = ， 2AD = ，四条侧棱长度均相等. 若平面 PAD ⊥平面 PBC ，则该四棱锥的高为 ；二面角 P AB C− − 的余弦值 为 . 15. 已知无穷数列{ }na 满足：对任意 *nN ，有 0na  ，且 1 1 2 1 1 , , n n n n n n n n n a a a a a a a a a + + + + + −  =  + ≤ . 给出下列四个结论： ① 存在无穷多个 *kN ，使得 2 1k k ka a a+ += + ； ② 存在 *kN ，使得 3 6k k ka a a+ += = =   ； ③ 对任意 *kN ，有 2 4k k ka a a+ ++ = ； ④ 对任意 *kN ，存在互不相同的 1 2, , ki i i   ，使得 1 2 1 2 3 2 k k i i i a a a a a a + +    + = + +    + . 其中所有正确结论的序号