重难点8 概率分布中的综合性问题（数列函数创新性综合）-备考2024年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

( 2024 ) ( XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI ) ( 高考数学重难点 ) ( 新 思 维 数 学 ) ( XINSIWEI ) ( 重难点8 概率分布中的综合性问题 ) 重难点8概率分布中的综合性问题 1．（2023·全国新高考I卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 2.（2023·全国新高考II卷）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 3．（2021·全国新高考II卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 以能力立意是新高考命题的指导思想，在知识点的交汇处设计问题也是高考命题的新特点和大方向，概率分布与递推数列、函数以及新定义相结合是今年新高考试题中的一个亮点，并且这类题目也频频出现在各地模拟试题中，考生普遍反应难度大，得分低，下面结合各地最新模拟试题进行分类突破，帮助考生克服这一难点。 题型一 概率分布中的递推关系 角度1 通项公式型 例2．（2024·山东聊城·一模）如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作，，，，，，，，. 一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.    (1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域； (2)求经过2秒机器人位于区域的概率； (3)求经过秒机器人位于区域的概率. 【对点演练1】（23-24高三下·安徽·阶段练习）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求． (1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 (2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，． （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率． 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 角度2 数列求和型 例2．（2024年高三下·重庆·阶段练习）一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为，试探讨下列问题： (1)若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率； (2)记为次游走中恰有2次向右游走的概率，令.记为不超过次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到次时也停止游走），此时一共游走的次数，的数学期望为.请比较与的大小，并说明理由. 【对点演练1】（2024·辽宁·一模）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. (1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其