第8章 专题三 平行线中辅助线的作法(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级下册·鲁教版 数 学 第八章　平行线的有关证明 专题三　平行线中辅助线的作法 类型1　几何图形中平行线辅助线的作法 1. 运算能力　如图所示， AB ∥ CD ，∠1＝35°，∠2＝45°，求∠ EPF 的度数. 思路分析：如图所示，过点 P 作 PM ∥ AB ，利用平行线的性质得到∠ EPF ＝ ∠1＋∠2即可. 解：如图所示，过点 P 作 PM ∥ AB . ∵ AB ∥ CD ， ∴ AB ∥ CD ∥ PM . ∴∠3＝∠1，∠2＝∠4. ∵∠1＝35°，∠2＝45°， ∴∠3＝∠1＝35°，∠4＝∠2＝45°. ∴∠3＋∠4＝80°， 即∠ EPF ＝80°. 2. 如图所示，已知 AE ∥ BD ，∠1＝120°，∠2＝32°，求∠ ACE 的度数. 解：如图所示，过点 C 作 CF ∥ AE . ∵ AE ∥ BD ，∴ CF ∥ AE ∥ BD . 又∵∠2＝32°，∠1＝120°， ∴∠ ECF ＝∠2＝32°， ∠ ACF ＝180°－∠1＝180°－120°＝60°. ∴∠ ACE ＝∠ ACF －∠ ECF ＝60°－32°＝28°. 3. 如图所示， AB ∥ CD ，若∠ ABE ＝120°，∠ DCE ＝35°，求∠ BEC 的度数. 解：如图所示，过点 E 作 EF ∥ AB . ∵ AB ∥ CD ，∴ EF ∥ CD . ∵ EF ∥ AB ， ∴∠ FEB ＋∠ ABE ＝180°. ∵∠ ABE ＝120°， ∴∠ FEB ＝180°－∠ ABE ＝60°. ∵ EF ∥ CD ，∠ DCE ＝35°， ∴∠ FEC ＝∠ DCE ＝35°. ∴∠ BEC ＝∠ FEB ＋∠ FEC ＝95°. 4. 如图所示，直线 a ∥ b ，射线 DF 与直线 a 相交于点 C ，过点 D 作 DE ⊥ b 于点 E ，已知∠1＝30°，求∠ CDE 的度数. 解：如图所示， 过点 D 作 DG ∥ a . ∵ DG ∥ a ， ∴∠ CDG ＝∠1＝30°. 又∵ a ∥ b ，∴ DG ∥ b . ∴∠ GDE ＋∠ DEA ＝180°. ∵ DE ⊥ b ，∴∠ GDE ＝∠ DEA ＝90°. ∴∠ CDE ＝∠ CDG ＋∠ GDE ＝30°＋90°＝120°. 5. 如图所示，长方形 ABCD 的顶点 A ， C 分别在直线 a ， b 上，且直线 a ∥ b ， ∠1＝66°，则∠2的度数是多少？ 解：如图所示，过点 D 作 DE ∥ a . ∵四边形 ABCD 是长方形， ∴∠ BAD ＝∠ ADC ＝90°. ∴∠3＝90°－∠1＝90°－66°＝24°. ∵ a ∥ b ，∴ DE ∥ a ∥ b . ∴∠4＝∠3＝24°，∠2＝∠5. ∴∠2＝∠5＝90°－∠4＝90°－24°＝66°. 6. 如图所示， AB ∥ CD ，∠1＝∠2，那么∠ E 和∠ F 相等吗？为什么？ 解：∠ E ＝∠ F . 理由如下： 如图所示，过点 E 作 EM ∥ AB ，过点 F 作 FN ∥ AB . ∵ AB ∥ CD ， ∴ AB ∥ EM ∥ FN ∥ CD . ∴∠1＝∠3，∠2＝∠6，∠4＝∠5. ∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠6. ∵∠ BEF ＝∠3＋∠4， ∠ CFE ＝∠5＋∠6， ∴∠ BEF ＝∠ CFE . 类型2　作图工具中平行线辅助线的作法 7. 如图所示，直线 l ∥ m ，将含有45°角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 m 上，若∠1＝25°，则∠2的度数是多少？ 解：如图所示，过点 B 作 BD ∥ l . ∵直线 l ∥ m ，∴ BD ∥ l ∥ m . ∴∠4＝∠1＝25°， ∠2＝∠3. ∵∠ ABC ＝45°， ∴∠3＝∠ ABC －∠4＝45°－25°＝20°. ∴∠2＝∠3＝20°. 8. 已知一副三角板按如图所示的方式摆放，其中两条斜边互相平行，求∠1 的度数. 解：如图所示，过点 E 作 EF ∥ AB . ∵ AB ∥ CD ， ∴ AB ∥ CD ∥ EF . ∴∠ AEF ＝∠ A ＝30°， ∠ DEF ＝∠ D ＝45°. ∴∠ AED ＝∠ AEF ＋∠ DEF ＝30°＋45°＝75°. ∴∠1＝∠ AED ＝75°. 9. 将一个直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，并使∠ MAB ＝120°， ∠ ABC ＝90°，试求∠ BCN 的度数. 解：如图所示，过点 B 作 BD ∥ AM . ∵直尺的对边平行，即 AM ∥ CN ， ∴ AM ∥ CN ∥ BD . ∴∠ MAB ＋∠ ABD ＝180°， ∠ BCN ＋∠ DBC ＝180°. ∵∠ MAB ＝120°，