（2024年高考数学专题）双曲线知识精讲+大题特训

（2024年高考数学专题）双曲线知识精讲+大题特训 知识精讲 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 大题特训 1．已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆. 2．已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为． （1）求双曲线的标准方程． （2）连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若． ①求证：为定值； ②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标． 3．设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若为直线上的一动点，直线分别与交于点．求证：直线过定点． 4．设双曲线的右焦点为，点为坐标原点，过点的直线与的右支相交于两点. （1）当直线与轴垂直时，，求的离心率； （2）当的焦距为2时，恒为锐角，求的实轴长的取值范围. 5．已知双曲线与直线有唯一的公共点. （1）若点在直线上，求直线的方程； （2）过点且与直线垂直的直线分别交轴于轴于两点.是否存在定点G，H，使得在双曲线上运动时，动点使得为定值. 6．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上． 7．已知抛物线的焦点为，准线为． （1）若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程； （2）设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； （3）经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 8． 已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点， （1）若点恰为的中点，求直线的斜率； （2）记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围. 9．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点． （1）求双曲线的离心率； （2）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程； （3）若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程； （3）若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由题意，解得，所以双曲线C的方程为； （2）解：当直线l斜率存在时，设直线l的方程为， 由，得，，整理得， 设，，所以，， 所以， 直线，所以，同理可得， 记直线交x轴于点G，所以， 又，所以， 当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以， 所以A，P，F，Q四点共圆. 2．【答案】（1）解：由双曲线的定义知，， 由题意可得，， 在中，由余弦定理知， 解得，因为，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）解：①设，，，， 由， 即，所以 同理，由，得， 将的坐标代入曲线得， ， 将的坐标代入曲线得， ， 所以为定值； ②由①知，， ， 因为点在双曲线上，所以或， 即或． 3．【答案】（1）解：设，由题得，整理得， 因为与点均不重合，故点和均不在轨迹上， 即轨迹的方程为. （2）解：由题设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 解得， 同理得， 当时，， 直线的方程为，即，此时恒过； 当时，解得，此时直线的方程为，过； 当时，解得，此时直线的方程为，过； 综上，直线过定点. 4．【答案】（1）解：当直线与轴垂直时，由对称性知是等腰直角三角形， 于是，即， 解得离心率. （2）解：若的焦距为2，则，即. 由于直线的斜率不为零，可设其方程为. 结合，联立 得. 设.由韦达定理， 由于两点均在的右支上， 故，即. . 由恒为锐角，得，均有， 即恒成立.