第19章 专题六 特殊四边形性质与判定的综合运用(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(沪科版)

年级下册·I 数 学 第19章　四边形 专题六　特殊四边形性质与判定的综合运用 平行四边形性质与判定的综合运用 1. 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形， AD ＝ AC ， AD ⊥ AC ， E 是 AB 的中 点， F 是 AC 延长线上的一点. （1）若 ED ⊥ EF ，求证： ED ＝ EF . 解：（1）证明：∵在▱ ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ＝ BC . 又 AD ＝ AC ， AD ⊥ AC ， ∴ AC ＝ BC ， AC ⊥ BC . 连接 CE ，如图①所示. ① ∵ E 是 AB 的中点，∴ AE ＝ EC ， CE ⊥ AB ， ∠ ACE ＝∠ BCE ＝45°，∴∠ ECF ＝∠ EAD ＝135°.∵ ED ⊥ EF ， ∴∠ CEF ＝∠ AED ＝90°－∠ CED . 在△ CEF 和△ AED 中， ​ ∴△ CEF ≌△ AED （ ASA ），∴ ED ＝ EF . （2）在（1）的条件下，连接 FB ，若 DC 的延长线与 FB 交于点 P ，连接 EP ，试 判断四边形 ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形再解答）. 解：（2）补全图形如图①所示，四边形 ACPE 为平行四边形. 证明：由（1）知△ CEF ≌△ AED ， CF ＝ AD . ∵ AD ＝ AC ，∴ AC ＝ CF . ① ∵ DP ∥ AB ，∴ FP ＝ PB ，∴ CP ＝ AB ＝ AE ， ∴四边形 ACPE 为平行四边形. （3）在（1）的条件下，连接 DF ，若 BC 的延长线交 DF 于点 Q ，连接 QA 与 QE . 试说明： QA ＝ QE . （先补全图形再解答） 解：（3）补全图形如图②所示.由（2）知 AC ＝ CF . ② ∵ CQ ∥ AD ，∴ DQ ＝ FQ . ∵在Rt△ DAF 与Rt△ DEF 中， QA ＝ DF ， QE ＝ DF ， ∴ QA ＝ QE . 矩形性质与判定的综合运用 2. （阜阳月考）在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， O 是 AB 边的中点， D ， E 分别在 AC ， BC 上，∠ EOD ＝90°， DF ∥ BC 交 AB 于点 F ，连接 EF ， OC ， OD . （1）如图①所示，求证：四边形 DCEF 是矩形. ① 解：（1）证明：∵∠ ACB ＝90°， O 是 AB 边的中点， ∴ CO ＝ AB ＝ AO ＝ BO . ∵ AC ＝ BC ， ∴∠ A ＝∠ B ＝45°， OC ⊥ AB ， ∠ ACO ＝∠ BCO ＝45°，∴∠ A ＝∠ BCO . ∵∠ EOD ＝90°， ∴∠ AOD ＋∠ DOC ＝∠ COE ＋∠ DOC ， ∴∠ AOD ＝∠ COE . 在△ ADO 与△ CEO 中， ​ ∴△ ADO ≌△ CEO （ ASA ），∴ AD ＝ CE . ∵ DF ∥ BC ，∴∠ ADF ＝90°， ∴∠ AFD ＝∠ A ＝45°，∴ DF ＝ AD ＝ CE ， ∴四边形 DCEF 是平行四边形. ∵∠ ACB ＝90°，∴平行四边形 DCEF 是矩形. （2）如图②所示，若∠ COE ＝22.5°，写出图中长度等于 EF 的线段.（ CD 除外） ② 解：（2）∵四边形 DCEF 是矩形，∴ EF ⊥ BC ， ∴△ BEF 是等腰直角三角形，∴ EF ＝ BE . ∵∠ COE ＝22.5°，∴∠ EOB ＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠ OEB ＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠ BOE ＝∠ BEO ，∴ BE ＝ BO ， ∴ EF ＝ BE ＝ BO ＝ AO ＝ CO ， ∴图中长度等于 EF 的线段有 BE ， BO ， AO ， CO . （ CD 除外） 菱形性质与判定的综合运用 3. 在▱ ABCD 中， AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，垂足分别为点 E ， F ，且 BE ＝ DF . （1）如图①所示，求证：▱ ABCD 是菱形. 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ B ＝∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ， ∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°. 在△ AEB 和△ AFD 中， ​ ∴△ AEB ≌△ AFD （ ASA ），∴ AB ＝ AD ， ∴▱ ABCD 是菱形. （2）如图②所示，连接 BD ，交 AE 于点 G ，交 AF 于点 H ，连接 EF ， FG ，若 ∠ C