第19章 四边形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

小结与复习 第19章 四边形 优翼八下数学教学课件（HK） 一、多边形的内角和与外角和 多边形的内角和等于 (n - 2)×180° 多边形的外角和等于 360° 正多边形每个内角的度数是 正多边形每个外角的度数是 要点梳理 几 何 语 言 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∴ AD = BC，AB = DC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 二、平行四边形的性质 对角线互 相平分 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC. B C D A O 两条平行线之间的距离处处相等 几 何 语 言 文字叙述 两组对边相等 一组对边平行且相等 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD = BC，AB = DC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AB = DC，AB∥DC， 三、平行四边形的判定 对角线互相平分 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ OA = OC，OB = OD， 两组对边分别平行（定义） ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD∥BC，AB∥DC， B C D A O 1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 四、三角形的中位线 用符号语言表示： ∵ DE 是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC， E A B C D 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 五、矩形、菱形、正方形的性质 条件 ①定义：有一个角是直角的平行四边形. ②定理1：对角线相等的平行四边形. ③定理2：三个角是直角的四边形. ①定义：一组邻边相等的平行四边形. ②定理1：四条边都相等的四边形. ③定理2：对角线互相垂直的平行四边形. ①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③有一个角是直角的菱形. 六、矩形、菱形、正方形的判定方法 考点一 多边形的内角和与外角和 例1 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 解： 设此多边形的每个外角的度数为 x，则每个相邻内角的度数为 4x. 则有 x + 4x = 180°，解得 x = 36°. ∴ 这个多边形的边数为 360°÷36° = 10. 考点讲练 1. 一个正多边形的每一个内角都等于 120°，则其边数是 . 6 【解析】因为该多边形的每一个内角都等于 120°，所以它的每一个外角都等于 60°. 所以边数是 6. 归纳拓展 在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列方程求解. 针对训练 考点二 平行四边形的性质 例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠1 =∠2 B．∠BAD =∠BCD C．AB = CD D．AC = BC 【解析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得出 A、B、C 项正确，不能推得 AC = BC. D 本题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等的性质. 方法总结 针对训练 2. 如图，▱ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，分别交 BC、AD 于 E、F．求证：AF = CE. 证明：在 ▱ABCD 中，∠B =∠D， AD = BC，AB = CD，∠BAD =∠BCD. ∵ AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD， ∴∠EAB = ∠BAD，∠FCD = ∠BCD， ∴∠EAB = ∠FCD. 在△ABE 和△CDF 中， ∴ BE = DF． ∴△ABE≌△CDF. 又 AD = BC，∴ AF = CE． 例3 如图，在▱ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为（　　） A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， AC = 10 cm，BD = 6 cm， ∴ OA = OC = AC = 5 cm，OB = OD = BD = 3 cm， ∵∠ODA = 90°， ∴ AD = = 4 cm． A 方法总结 主要考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，解题时还要注意勾股定理的应用. 【解析】在 ▱ABCD 中，∵ AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm， ∴ AO = 12 cm，BO = 19 cm，BC = AD = 28 cm. ∴ △BOC 的周长是 12 + 19 + 28 = 59 (cm). 针对训练 3. 如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是（ 　） A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm B B C D A O 考点三 平行四边形的判定 例4 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形（　　） A．OA = OC，OB = OD B．∠BAD =∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD = BC D．AB = CD，AO = CO D B C D A O 平行四边形的判定方法： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 方法总结 针对训练 4. 如图，点 D、C 在 BF 上，AC∥DE，∠A =∠E，BD = CF. （1）求证：AB = EF； 证明：∵ AC∥DE， ∴∠ACB =∠EDF. ∵ BD = CF， ∴ BD + DC = CF + DC，即 BC = DF. 又∵∠A =∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS）. ∴ AB = EF. （2）连接 AF，BE，猜想四边形 ABEF 的形状，并说明理由． 解：四边形 ABEF 为平行四边形. 理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD， ∴∠ABF =∠EFB. ∴ AB∥EF. 又∵ AB = EF， ∴四边形 ABEF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 考点四 三角形的中位线 例5 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点. 求证： . 证明：过点 D 作 DH∥BF，交 AC 于点 H. ∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ D 是 BC 的中点. ∴ CH = HF = CF. ∵ E 是 AD 的中点，EF∥DH， ∴ AF = FH. ∴ AF = FC. A B C D E F H 针对训练 5. 若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ，三角形的周长为 60 cm，那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿. 解析：设三条中位线的长分别为 6x cm，5x cm，4x cm， 则三角形的三条边长分别为 12x cm，10x cm，8x cm， 依题意有 12x＋10x＋8x = 60， 解得 x = 2. 所以最长边长为 12x = 24 (cm). 24 cm 例6 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O， ∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD (矩形的对角线相等)， OA = OC = AC，OB = OD = BD (矩形对角线相互平分). ∴ OA = OD. A B C D O 考点五 矩形的性质和判定 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°. 又∵∠DAB = 90° (矩形的四个角都是直角)， ∴ BD = 2AB = 2×2.5 = 5. A B C D O 6. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积. 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°. ∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴□ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形). ∴∠ABC = 90° (矩形的四个角都是直角). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB2 + BC2 = AC2， ∴ BC = . ∴ S□ABCD = AB·BC = 4× = . A B C D O 7. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下： ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形. 在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴∠BOC = 90°. ∴ 四边形 CEBO 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). D A B C E O 例7 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求 AB 和 AC 的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD (菱形的边长相等)，AC⊥BD，OB = OD = BD = ×6 = 3 (菱形的对角线互相垂直平分). 又∵∠BAD = 60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴ AB = BD = 6， A B C O D 考点六 菱形的性质和判定 证明：在 △AOB 中， ∵ AB = ，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 8. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证： □ABCD 是菱形. 针对训练 A B C O D 9. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由. A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下： 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F. 由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形. 则 S□ABCD = AD · CF = AB ·CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB. ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 例8 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC = DC，∠BCE = 90° （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180° -∠BCE = 180° - 90° = 90°. A B D C F E 考点七 正方形的性质和判定 ∴∠BCE =∠DCF. 又∵ CE = CF，∴△BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF，∠CBE =∠CDF. 延长 BE 交 DE 于点 M. ∵∠CDF +∠F = 90°， ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°，即 BE⊥DF. 综上可知，BE = DF，且 BE⊥DF. M A B D C F E 10. 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. 解析：先由两组平行线得出四边形 BECF 是平行四边形；再由邻边相等，得出平行四边形 BECF 是菱形；最后由一个角是直角可得菱形 BECF 是正方形. 针对训练 F A B E C D 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形 BECF 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠DCB = 90°. ∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠ DCB， ∴∠EBC =∠ECB = 45°. ∴ EB = EC. ∴ □ BECF 是菱形. 又∠BEC = 90°， ∴ 菱形 BECF 是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形). F A B E C D 45° 45° 多边形的内角和与外角和 内角和计算公式 (n - 2)×180° (n≥3 且取整数) 外角和 多边形的外角和等于 360° 特别注意：与边数无关 正多边形 内角= ，外角= 课堂小结 平 行 四 边 形 性质 ①对边平行且相等 ②对角相等，邻角互补 ③对角线互相平分 判定 ①两组对边分别平行的 ②两组对边分别相等的 ③一组对边平行且相等的 ④对角线互相平分的 四 边 形 平 行 四 边 形 三角形的中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 特殊四边形之间的转化 有一个角是90° （或对角线相等） 有一对邻边相等 （或对角线互相垂直） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等） 有一个角是90° （或对角线相等） 有一对邻边相等 （或对角线互相垂直） 见教材章末复习题 课后作业 $$