专题05 切线与公切线问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破（新高考）

专题05 切线与公切线问题 【考情综述】 用导数研究曲线的切线，是高考的一个热点，内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题，由切线满足条件求参数或参数范围等，高考中既有基础客观题，也有压轴客观题，时而也会以解答题形式考查. 这部分主要考查函数图像切线方程的求解，切线存在性等问题，常考题型如下： (1) 求函数图像在“某一点处”和“过某一点”的切线方程，前者直接求导，代入求斜率，再求切线方程，后者需要设出切点，建立方程，求出切点，再求切线方程． (2)运用导数的几何意义求切线的方程，以导数为工具研究函数的单调性、极值、最值等，通过分析求解条件、确定求解程序、调整思维进程全面考查分析和解决问题的能力. (3) 由曲线的切线和公切线，求参数的范围，此类题目通常构建新函数，探究函数的单调性，由新定义函数考查曲线的切线问题也是近几年考试的热点． 突破点一：有关切线的条数 例1（1）（2024·长沙质检）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 （2）（2024·南通调研）已知，其中为常数. ①当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数在上 的最小值； ②在①的条件下，过点作函数图象的切线，试问 这样的切线有几条？并求这些切线的方程. 〖方法策略〗 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 突破点二：切线与切线之间的关系 例2 已知函数，其中是实数．设，为该 函数图象上的两点，且． （1）指出函数的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：． 借题变式 已知函数，函数图象上点处的切线与的 图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式． 〖方法策略〗 求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，对于两条切线之间的关系，属于第二类，先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题，若考查切线垂直或者平行的存在性问题，往往设出切点为，切线互相垂直则可得，平行可得，进而转化为值域或者范围问题. 突破点三：曲线的公切线问题 例3（1）（2024山东临沂模拟）已知曲线在点处的切线与抛物线 相切，则的值为（　　） A． B．或 C． D． （2）（2024·苏州模拟）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是________. 借题变式 设函数，线在点处的切线方程为（）． （1）求、的值； （2）求证：函数与的图象有且只有一条公切线，并求该公切 线方程． 〖方法策略〗 设曲线在点处的切线为，整理可得.设曲线在点处的切线为，整理得，由于是相同的直线，故有 ，从而求出公切线方程,公切线的条数等价于该方程组的解的个数. 突破点四：切线的探究性问题 例4 （2024·广州模拟）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数． (1) 求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行； (2) 当t＝3时，函数f(x)的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的 平行线共有几组． 〖方法策略〗 与导数几何意义相关的综合问题解法灵活，方式多变，以切线为载体研究函数的单调性、极值、最值等，借助函数图像的切线考查函数的零等问题，求参数的范围，通常构建新函数，探究函数的单调性，有些切线问题是将问题转化为方程有解的问题，此类问题难度较大，往往考查学生的综合素养． 【A组】 1．（2023·河南八市联盟联考）已知点是曲线与曲线的公共切点，则两曲线在点处的公共切线方程是（ ） A. B. C.或 D.或 2．（2020·全国Ⅰ）若直线l与曲线y=和都相切，则l的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，和直线m：， 且． （1）求的值； （2）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？ 如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【B组】 4．（2024·山东德州月考）已知为奇函数，当时，，则曲线 在处的切线方程是（ ） A．B．C．D． 5．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．若函数与函数存在公共点，并且在处具有公共切线，则实数（ ） A． B． C． D． 7．已知是函数图像上的两个不同的点， 且在两点处的切线互相垂直，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2024山东廊坊联考）已知函数，曲线上存在两个不同点， 使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数