1.2.1第2课时 必要条件和充分条件课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

必要条件和充分条件 第2课时 复习引入 一个命题中,其中p是条件,q是结论 如果p q(条件 结论),就称“p是q的充分条件”; 如果q p(结论 条件),就称“p是q的必要条件”. 2 新知探究 问题1 根据下面两个定理,条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件? 勾股定理:如果一个三角形是直角三角形,那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理:如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. (1)在勾股定理中,“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件; “三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件. (2)在勾股定理的逆定理中,“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件. 综上:“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边 的平方”的充要条件; 3 新知探究 一般地,如果p q,且q p. 记作p q. 当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. 命题中p是条件,q是结论,如果p q(条件结论), 就称“p是q的充要条件”,这时可以记作p q,即p与q等价. 那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件, 并且q p(结论条件), 师生活动:教师引导学生做以下总结. 设计意图:从学生熟悉的定理出发,在判断“若p,则q”形式命题真假的基础上,明确“命题的真假”与“由p推出q”的关系,从而形成充分条件和必要条件的定义. 4 新知探究 追问:能否列举一个充要条件的实例? “实数|x|<1”是“实数-1<x<1”的充要条件,即|x|<1 -1<x<1. 师生活动:学生独立思考,展示交流,给出总结及解释. 5 新知探究 问题2 数学上的判定定理、性质定理与充分条件、必要条件有关,那么数学定义与充分条件、必要条件有关吗?试以某一定义为例说明! 充要条件与数学中的定义有关. 例如,三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义, 这就意味着,只要三角形的三条边都相等,那么这个三角形一定是等边三角形; 反之,如果一个三角形是等边三角形,那么这个三角形的三条边都相等. 师生活动:学生分组讨论后,代表叙述. 教师点评:充要条件与数学中的定义有关. 例如,“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义,这就意味着,只要三角形的三条边都相等,那么这个三角形一定是等边三角形; 反之,如果一个三角形是等边三角形,那么这个三角形的三条边都相等. 不难看出,一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件,上例中,“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件.注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件,因此我们也可以将等边三角形定义为:“三个角都相等的三角形称为等边三角形”. 设计意图:通过启发学生回顾学过的数学定义,使之理解数学对象的定义是这个对象的充要条件. 6 新知探究 问题3 结合实例,说明为什么有些数学对象有多种定义. 因为有些数学对象充要条件不唯一,所以可以有多种定义. 如平行四边形,可定义为“两组对边分别平行的四边形”,也可以定义为“两组对边分别 相等的四边形”,还可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”及“对角线互相平分的 四边形”等. 这同时还告诉我们,在理解数学概念时,可以用自己较为熟悉的充要条件去替换定义, 从而加深自己对数学对象的理解和认识. 7 新知探究 问题4 x >3是x>2的_条件,x>2是x>3的_条件,x>2是x<3的_条件. 一般地,如果p q且p q,则称p是q的充分不必要条件,相应地,我们称q是p的必要不充 分条件. 如果p q且q p,则称p是q的必要不充分条件, 如果p q且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 师生活动:学生独立思考做出回答,教师引导学生做出以下结论: 一般地,如果p q且p q,则称p是q的充分不必要条件,相应地,我们称q是p的必要不充分条件.如果p q且q p,则称p是q的必要不充分条件,如果p q且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 8 新知探究 问题5 一个命题的条件有哪些分类?并举例说明. 一个命题的条件分为: “充分不必要条件” “既不充分也不必要条件”四种. 如:“三角形是直角三角形”是“一边的中线等于该边长的一半”的充要条件; “x>2”是“x>0”的充分不必要条件. “必要不充分条件” “充要条件” 师生活动:同学之间互相举例,互相作答. 设计意图:由于这节课概念性,理论性较强,一般的设计使学生感到枯燥无味,为此,激发学生学习兴趣是关健,以学生为主,让学习自己构造练习题,自我感到