1.2.1 必要条件与充分条件（3）教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第1章 预备知识 常用逻辑用语 1．2．1 必要条件与充分条件（3） · 教学目标 1．掌握充要条件的概念． 2．理解充要条件的意义． 3．会判断条件与结论之间的充要性． 4．提高数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养逻辑思维能力． · 教学重难点 · 重点：掌握充要条件的概念和意义；会判断条件与结论之间的充要性． 难点：会判断条件与结论之间的充要性． · 教学过程 · 一、新课导入 回顾：必要条件、充分条件的理解． 分析： （1）一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，即，称p是q的充分条件． （2）一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，即，称p是q的必要条件． 思考：当命题“若p，则q”是真命题时，既有、又有即，p是q的什么条件呢？ 答案： 充要条件． 今天，我们将继续学习必要条件与充分条件（3）——充要条件． 设计意图：从回顾旧知入手，从回顾前两节课所学必要条件和充分条件，来理解充要条件，建立新旧知识连接，思考充分、必要的关系，引出充要条件，从而顺利引出本节课题． 二、新知探究 探究一：充要条件的理解． 实例分析：用学过的必要条件和充分条件分析以下定理． 1． 勾股定理： 如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方． 2． 勾股定理的逆定理： 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角． 师分析勾股定理：“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件． 答案：在勾股定理的逆定理中，“三角形有一边所对的角是直角”是“三角形这边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件；“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件． 总结： 1．一般地，如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件．记作． 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”或“p与q等价”． 3．当p是q的充要条件时， q也是p的充要条件． 注意：充要条件是相互的，同时存在的，即p和q互为充要条件． 思考：判断p是q的什么条件时，有哪些可能情况？ 探究二：充要条件的可能情况． 分析： （1）如果，且q不能推出p，则称p是q的充分不必要条件； （2）如果p不能推出q，且，则称p是q的必要不充分条件； （3）如果，且，则称p是q的充要条件； （4）如果p不能推出q，且q不能推出p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 注意：p是q的充要条件也可以说成是： p和q是等价的； p成立当且仅当q成立；q成立当且仅当p成立． 探究三：充要条件的判断方法． 知识点： （1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假； （2）集合法：即利用集合之间的包含关系判断． （3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由,可得；充要条件也有传递性． 小结：对充要条件的理解： （1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立； p不成立，则q一定不成立”． （2）要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 设计意图：通过对充要条件的理解、充要条件的可能情况以及判断方法的思考三个探究活动，循循渐进，深入理解充要条件．师生互动，启发教学，培养学生逻辑思维能力． 三、应用举例 例1：在下列各题中，试判断p是q的什么条件. （1）； （2）； （3）p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形． 解：（1）因为命题“若，则”为真命题，并且，“若，则” 也是真命题，所以p是q的充要条件． （2）因为“”“”，但是“”不能推出“”，例如“ ”，而“”，所以p是q的充分条件，但不是必要条件． （3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 例2：设集合，集合，则“”是“”的 （ ）条件． 解：若，则满足充分条件要求， 若，则，解得，不满足必要条件要求，所以 “”是“”的充分不必要条件． 例3：若，则为真命题的充要条件是（ ）． 解：因为，恒成立，所以，所以， 因为，所以，所以，故若，则为真命题的充要条件是． 四、课堂练习 1．判断下列说法是否正确，正确的在它的后面的括号里画“√”，错误的画“×”． （1）若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立．（） （2）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．（） （3）若和有一个成立，则p一定不是q的充要条件．（） （4）