1.2.1第1课时 必要条件和充分条件课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

必要条件和充分条件 第1课时 新知探究 小组讨论 定理1:菱形的对角线互相垂直. 定理2:对顶角相等. 定理3:如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等. ①将定理1、2改成“若p,则q”的形式. 定理1:如果一个四边形是菱形,那么它的对角线互相垂直. 定理2:如果两个角是对顶角,那么它们相等. 2 新知探究 追问1:定理1:如果一个四边形是菱形,那么它的对角线互相垂直.请问“对角线互相垂直” 是“四边形是菱形”的必有的条件吗? 是,如果对角线不垂直,那么肯定不是菱形. 师生活动:定理1是菱形的性质定理,即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说,如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直,而一旦某个四边形的对角线不互相垂直,那么这个四边形一定不是菱形. 3 新知探究 追问2:试用上面的方法分析定理2,定理3. 定理2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等. 也就是说,如果两个角是对顶角,那么一定可以得到这两个角相等, 而若两个角不相等,那么这两个角一定不是对顶角. 定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等. 也就是说,如果两个三角形全等,那么这两个三角形对应的角相等, 而若两个三角形对应的角不相等,那么这两个三角形一定不全等. 4 新知探究 必要条件:一般的,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件. 即:p q,q是p的必要条件,因为如果q不成立,则p肯定不成立. 如:①如果集合A B,那么A∩B=A. 即“A B A∩B=A”,所以“A∩B=A”是“A B”的必要条件. ②若实数x=y,那么|x|=|y|. “x=y |x|=|y|”,所以“|x|=|y|”是“x=y”的必要条件, 如果|x|≠|y|,肯定x≠y. 教师总结: 5 新知探究 必要条件:一般的,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件. 即:p q,q是p的必要条件,因为如果q不成立,则p肯定不成立. ③甲同学数学成绩优异,说明他平时认真听讲了. “甲同学数学成绩优异” “平时认真听讲了”, 所以“平时认真听讲”是“甲同学数学成绩优异”的必要条件, 如果“平时不认真听讲”,那么“甲同学数学成绩不会很好的”. 教师总结: 6 新知探究 小组讨论 定理4:若a>0,b>0,则ab>0. 定理5:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理6:平行于三角形一边的直线,截其他两边所得三角形与原三角形相似. 以上定理,要得到结论,所给的条件充分吗?另外所给的条件是不是必要的呢? 定理4,条件“a>0,b>0”是“ab>0”成立的充分条件,但不是必需(必要)的; 定理5,是充分的,也是必要的;定理6,是充分的,但不是必要的. 7 新知探究 充分条件:一般的,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件. 即:p q,p是q充分条件,因为要使q成立,给条件p足够了(充分). 再看上面的例子:①如果集合A B,那么A∩B=A. “A B A∩B=A”,“A B”是“A∩B=A”成立的充分条件. ②若实数x=y,那么|x|=|y|. x=y |x|=|y|,所以“x=y”是“|x|=|y|”的充分条件. 注意:①对于一个命题“若p,则q”,我们固定将p称为命题的条件,q称为命题的结论, 所以如果p q就称“p是q的充分条件”,如果q p就称“p是q的必要条件”. 教师总结: 8 新知探究 充分条件:一般的,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件. 即:p q,p是q充分条件,因为要使q成立,给条件p足够了(充分). 如上例,若实数x=y,则|x|=|y|. x=y |x|=|y|,所以“x=y”是“|x|=|y|”的充分条件, 但|x|=|y| x=y,所以“x=y”不是“|x|=|y|”的必要条件. ②对于充分条件和必要条件的判断问题, 最常有的两种形式为“p是q的**条件”和“q的**条件是q”,两种叙述方式, 都是“p是条件,q是结论”,然后只需判断“p q”和“q p”哪个是真命题即可. 教师总结: 9 新知探究 追问3:请判断,对于集合A,B,A B的什么条件是A= ? A= A B,则A= 是A B充分条件, 但A B A= ,故A= 不是A B的必要条件, 所以A B的充分不必要条件是A= . 10 初步应用 例1 将下面的性质定理写成“若p则q”的形式,并用必要条件的语言表述: (1)“平面四边形的外角和是360 ”可表述为“若平面多边形为四边形,则它的外角 和为360 ”, 所以“外角和为360 ”是“平面多边形为四边形”的必要条件; (2)“在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同)”可表述为“若平面直 角坐标系中的两个点关于(轴对称),则这两个