2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究 (二次函数与几何图形探究题)（二）二次函数与面积问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究 (二次函数与几何图形探究题)（二） 二次函数与面积问题 （2023年23题，2021年23题，2019年23题，2015年24题） 1、 题型解读 1.求直角坐标系下三角形面积一般性的解题步骤： 图1 （1）过动点(如上图2中A点)作y轴的平行线交定直线(如上图1中BC)，得到铅锤高(如上图1中AD)； （2）：求定直线的解析式； （3）：设动点坐标(一般在二次函数上动，设横坐标，根据解析式纵坐标用横坐标的代数式表示)； （4）：用动点坐标的代数式表示铅锤高(如上图中的AD=ya-yd，这步是核心)； （5）：； （6）：计算求解。 2.求直角坐标系下其他题型面积转化为三角形面积和差 类型一. 图形面积确定 1. 表示出所求图形面积； 2. 列方程求解。 1．如图，抛物线与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD. （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D在x轴的下方，当的面积是时，求的面积； （3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点，B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，抛物线过，两点. （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一点，且位于的上方，当的面积为6时，求点P的坐标； （3）过B作于C，连接，点G是抛物线上一点，当时，请求出此时点G的坐标. 针对练习1 1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标： （3）若抛物线上有一点Q，使的面积为6，直接写出Q点坐标.. 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，点在抛物线上. (1)求出直线的函数关系表达式，并直接写出顶点D的坐标； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线，并且与直线交于点Q. ①分别连接，，当时，求出m的值； ②连接，过点P作直线，直线l与直线交于点M，当时，直接写出此时的长. 类型二、与已知图形面积的相等、倍分 1. 确定已知图形面积 2. 表示出所求图形面积 3. 列方程求解。 例2-1．如图，抛物线与x轴交于，两点．交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过、两点，与y轴交于点C，顶点为D．    (1)求点D的坐标； (2)将抛物线平移得到抛物线，记抛物线的顶点为P，若点P在直线上，且，求抛物线的函数表达式． 针对练习2 1．如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标． 2.综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围； （3）连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标； （4）在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由. 类型三、面积的最值问题 1. 表示出图形的面积与动点的函数关系。（不是三角形的转化为三角形面积的和差） 2. 利用二次函数的性质求出最值。 例3-1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标． 例3-2.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）． （1）求b，c的值； （2）直线l与x轴交于点P． ①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值； ②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式． 针对练习3 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N. （1）求抛物线的函数关系式； （2）求直线AC的函数关系式； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点.求面积的最大值. 2．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于C点. （1）求