2024年九年级数学中考复习：圆与三角形问题综合训练

2024年九年级数学中考复习：圆与三角形问题综合训练 1．如图，在中，，过点作，连接，的外接圆交于点，连接． (1)求证：． (2)若，记． ①请写出关于的函数表达式． ②当，则面积的取值范围是______． 2．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 3．如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点E．若．    (1)求证：． (2)当时，求： ①的值； ②的长． 4．如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接． (1)设的半径为1，若，求线段的长． (2)连接，，设与交于点， ①求证：． ②若，求的度数． 5．如图，已知锐角三角形，点A在三角形内，，，．作的外接圆，交于点F，连接，． (1)求证：． (2)若，， ①求的取值范围． ②求的面积S的取值范围． 6．如图，线段AB经过的圆心O，交于A、C两点，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求封闭图形的面积； (3)求线段的长． 7．已知，四边形ABCD内接于，弦交弦于点F，连接， (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，连接，若，延长交于点L，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，连接交于点H，点M在弦上，连接交BF于点N，若，，，且，求的长． 8．如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求证：是的切线． 9．已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 10．如图，在中，，以为直径的交边于点D、H，连接，过点C作． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，，求的直径； (3)连接与交点G恰好落在上，若，直接写出弦和围成的图形的面积． 11．已知半圆的直径，是半圆上的一个动点（不与点、重合），连接，以直线为对称轴翻折，将点的对称点记为，射线交半圆于点，连接．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，当点与点重合时，求阴影部分的面积 (3)过点作射线的垂线，垂足为，连接交于点，当时，求的值． 12．已知，内弦、交于点E，，连接．    (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，连接交于点G，延长交于点F，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，若，，求的长． 13．如图1，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上．连接交于点，的外接圆与交于，两点．    (1)求证：是切线； (2)如图2，连接，，若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 14．如图，为直径，为延长线上一点，过点作切线，切点为，，垂足为，连接和．    (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，为下方上一点，且，连接，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，在上取一点，连接，使，过点作的垂线交于点，若，，求的长度． 15．四边形内接于，对角线平分．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为直径时，弦交于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，弦、交于点，弦、交于点，线段、交于点，若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：是的外接圆，， 是直径，， ， ； （2）解：①连接，则， 由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ， 即； ②， ，即， ， 面积， 当时，． 2．（1）∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的切线． （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵． 3．（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ②过O点作于H点，如图， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 4．1）解：，，， ，，． 是直径， ， ． ， 是等边三角形． ， ， ． ， ． （2）①证明：如图，过点作于点，交于，连接． ， ， ， ． 同理可证， ． ，， ， 四边形是平行四边形， ； ②， ， ， ． ， ． ， ， ． ， 是等腰直角三角形， ． 5．（1）证明