2024年九年级数学中考复习——图形变换与角度问题综合 专题训练

2024年春九年级数学中考复习《图形变换与角度问题综合》专题训练（附答案） 1．如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接． （1）求证：直线是线段的垂直平分线； （2）点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 2．已知如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（α>），F为BC中点，D为BC延长线上一点，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE． (1)补全图形并比较∠BAD和∠CAE的大小； (2)用等式表示CE，CD，BF之间的关系，并证明； (3)过F作AC的垂线，并延长交DE于点H，求EH和DH之间的数量关系，并证明． 3．如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、． (1)求证：； (2)联结，如果，求的正切值； (3)联结，如果，求的值． 4．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F． (1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P． ①求证：AE•AB＝AD•AC； ②求BF的长； (2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长． 5．（1）观察猜想：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝BC，BE＝BD，连接AE，点F是AE的中点，连接CD、BF，当点D、B、C三点共线时，线段CD与线段BF的数量关系是_____，位置关系是_____ （2）探究证明：在（1）的条件下，将Rt△BDE绕点B顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图③，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围， 6．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad）．如图1，在△ABC中，AH⊥BC于点H，则qad∠BAC＝．当qad∠BAC＝时，则称∠BAC为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，△ACE的“金角”∠EAC所对的边CE在BC边上，将△ACE绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到△A'CE'，A'C交AD边于点F． （1）如图2，当α＝45°时，求证：∠ACF是“金角”． （2）如图3，当点E'落在AD边上时，求qad∠AFC的值． 7．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用． （1）如图1，正方形中，，且，求证：； （2）如图2，正方形中，，延长交的延长线于点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）如图3在（2）的条件下，作，垂足为点，交于点，连结，求证：． 8．综合与实践 如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在中，，，在中，，，点，分别在，边行，直角顶点重合在一起，将绕点逆时针旋转，设旋转角，其中． （1）当点落在上时，如图2： ①请直接写出的度数为______（用含的式子表示）； ②若，，求的长； （2）如图3，连接，，并延长交于点，请判断与的位置关系，并加以证明； （3）如图4，当与是两个相等钝角时，其他条件不变，即在与中，，，，，则的度数为______（用含或的式子表示）． 9．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 10．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB　 　EC．（填＞、＜或＝） （2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC． 【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为 　 　；线段CE，BD之间的数量关系为