2024年九年级数学中考复习——开放探究综合压轴题 专题训练

2024年春九年级数学中考复习《开放探究综合压轴题》专题训练（附答案） 1．【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 (1)直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系： ； (2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 2．【阅读探究】如图1，已知，、分别是、上的点，点在、两平行线之间，，，求的度数． 解：过点作   ∴ ∵   ∴   ∴ ∴ (1)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中，和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：____________． (2)【方法运用】如图2，已知，、分别是、上的点，点在、两平行线之间，写出，和之间的数量关系并给予证明． (3)【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数． 3．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题． （1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ； 【拓展延伸】 （2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简） 4．综合与实践 在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α=∠ABC，得到PE，连接CE． （1）如图1，当BA=BC，且∠ABC=60°时，BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 （2）如图2，当BA=BC，且∠ABC=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理） （3）在（2）的条件下，若AB=8，AP=，请直接写出CE的长． 5．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 6．点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点（不与点B重合），在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接 DF交CG于点H． (1)发现 如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是______ (2)探究 如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展 在（2）的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD＝3，AB＝4，请直接写出线段EF的值 7．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 8．综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)初步探究： 勤思小