四川省雅安市2023-2024学年高三下学期第二次诊断性考试数学（理）试题

秘密★启用前 雅安市高2021级第二次诊断性考试 数学（理科） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数，则（ ） A. B. C.2 D. 2.某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A.决定系数变小 B.残差平方和变小 C.相关系数的值变小 D.解释变量与预报变量相关性变弱 3.的展开式中的系数为（ ） A.80 B.40 C.10 D. 4.已知数列满足，（），则（ ） A. B. C. D.2 5.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6.已知平面区域，圆，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（ ） A.10 B.4 C.2 D.0 7.某校甲、乙、丙、丁4个小组到，，这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数，则下列说法中，正确的是（ ） A.的最小值为 B.在区间上单调递增 C.的图象关于点对称 D.的图象可由的图象向右平移个单位得到 9.如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，且平面.给出下列结论： ①平面； ②平面平面； ③二面角的平面角是直线与平面所成角的2倍. 其中所有正确结论的序号为（ ） A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 10.已知函数，给出下列4个图象： 其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（ ） A.3 B. C.2 D. 12.已知，，均为正数，且，，，则，，的大小系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知集合，，，则______. 14.已知，则曲线在点处的切线方程为______. 15.已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为______. 16.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分） 某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据： 文化艺术类 体育锻炼类 合计 男 100 300 400 女 50 100 150 合计 150 400 550 （1）通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？ （2）“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪.该校文化艺术类课外活动中，设置了一项“投壶”活动.已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投中的概率为，乙每只投中的概率为，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中，. 18.（12分） 如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，且二面角为锐二面角，求二面角的正弦值. 19.（12分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值. 20.（12分） 在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1. （1）求的方程； （2）当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足，试探究点到直线的距离的最大值. 21.（12分） 已知函数. （1）若在区间存在极值，求的取值范围； （2）若，