3.导数及其应用进阶训练-2024年高考数学二轮复习讲练

3.导数及其应用进阶训练-2024年高考数学二轮复习讲练 一、 真题再现 考点1：利用导数研究曲线上某点切线方程 ｜解题技法｜ 求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 提醒　“过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点. 1. （2020全国卷）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求b． 2. 曲线y＝x3＋1在点（－1，a）处的切线方程为　　　　.  3. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 考点2 利用导数研究函数的单调性 ｜解题技法｜ 讨论函数f（x）单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. ｜解题技法｜ 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开. 1.（2020全国卷）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； 2. （2019全国卷）已知函数. （1）讨论单调性； 3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； 4．（2022•浙江）设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （注是自然对数的底数） 5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； 考点4 利用导数研究函数的极值 ｜解题技法｜ 利用导数求函数极值（极值点）的一般流程 1. （2021全国甲卷）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； 2．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　 A． B． C． D． 3．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则　　 A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 考点5 利用导数研究函数的最值 ｜解题技法｜ 利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 提醒　若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则f（x）的最值不存在. 1．（2022全国乙卷）已知函数． （1）当时，求的最大值； 考点6 利用导数研究函数零点问题 ｜解题技法｜ 函数零点问题一般思路 （1）可转化为利用导数研究其函数的图象与x轴（或直线y＝k）在该区间上的交点问题； （2）证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f（a）·f（b）＜0. 1．若函数f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2个零点，求a的取值范围. 2.已知函数f（x）＝ex－ax. （1）若a＝e，求函数y＝f（x）的零点个数； 二、进阶训练 考点1：利用导数研究曲线上某点切线方程 1. （2022全国甲卷）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若，求a； 2．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　　． 3．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　 　，　 　． 4. 若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+ 考点2 利用导数研究函数的单调性 1. （2021全国甲卷）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； 2. （2020全国卷）已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的