3.3 复数的几何表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第3章 复数 3.3 复数的几何表示 1 #b# 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间一一对应的 关系.（直观想象） #b# 2.掌握实轴、虚轴、复数的模、共轭复数等概念.（数学抽象） #b# 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.（数学运算） 学习目标 2 1.平面直角坐标系中的点 与向量有怎样的对应关系？ [答案] 一一对应. 2.复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合一一对应吗？ [答案] 一一对应. 3.实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？ [答案] 虚轴上除了坐标原点以外的点才表示纯虚数. 自主预习 3 4.若， 是共轭复数，在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ [答案] 它们所对应的点关于实轴对称. 5.我们知道，复数与复数 是不能比较大小的，这两个复数的模分别是多少？ 能比较大小吗？ [答案] ，， ，即两个复数的模能比较 大小. 6.怎样定义复数 的模？它有什么意义？ [答案] 向量的模叫作复数的模，记作或 ，且 ，且，表示点 到原点的距离. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）复平面内的点与复数是一一对应的.( ) √ （2）复数的模一定是正实数.( ) × （3）若，则 .( ) × （4）若两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.( ) √ 自主预习 5 2.已知为虚数单位，若和互为共轭复数，则实数， 的值分别是 ( ) . D A.3，3 B.5，1 C.， D. ，1 [解析] 和 互为共轭复数， 解得 自主预习 6 3.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 ( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为，所以它在复平面内对应的点为 ，又因为 此点在第二象限，所以解得 .故选B. 自主预习 7 4.已知复数，则 ____. [解析] 依题意，，所以 . 自主预习 8 探究1 复数的几何意义 问题1： 在什么条件下，复数 唯一确定？ [答案] 实部和虚部 唯一确定. 问题2： 设复数，以的实部和虚部组成一个有序实数对 ，那 么复数与有序实数对 之间是一个怎样的对应关系？ [答案] 一一对应关系，即复数点 . 合作探究 9 问题3： 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ [答案] 不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点 对应的有序实数对为，它所确定的复数是 ，表示的是实数. 合作探究 10 新知生成 1.复平面的定义 在平面上建立直角坐标系，这个与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面. 轴叫作______， 轴叫作______，实轴上的点都表示______.除______外，虚轴上 的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 （1）复数 一一对应复平面内的点_______. （2）复数一一对应平面向量 . 实轴 虚轴 实数 原点 合作探究 11 新知运用 例1 求实数分别取何值时，复数对应的点 满足下 列条件： （1）在复平面的第二象限内； （2）在复平面内的 轴上方. 合作探究 12 [解析] （1）点 在复平面的第二象限内， 则无解， . （2）点在 轴上方， 则 即，解得或 . 合作探究 13 &1& 利用复数与点的对应关系解题的步骤：（1）确定复数的实部与虚部， 从而确定复数对应点的横、纵坐标；（2）根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系. 合作探究 14 在复平面内，若复数 对应的点：（1）在虚轴 上；（2）在第二象限；（3）在直线上，分别求实数 的取值范围. [解析] 复数的实部为 ，虚部为 . （1）由题意得，解得或 . （2）由题意得解得 . （3）由已知得，解得 . 合作探究 15 探究2 复数的模与共轭复数 我们知道向量的长度叫向量的模，与向量 一一对应，下面 我们探讨 如何表示. 问题1： 与向量 的模之间也是一一对应的吗？ [答案] 是. 问题2： 联系复数的几何意义，你能说出复数的模在复平面内的几何意义吗？ [答案] 复数的模就是复数在复平面上对应的点 到原点的距离. 合作探究 16 问题3： 若与互为共轭复数，则与 之间有什么关系？ [答案] 设，则，故 . 问题4： 什么数的共轭复数是它本身？ [答案] 实数的共轭复数是它本身. 合作探究 17 新知生成 1.复数的模 对任意复数，将它在复平面上对应的向量的模 称为复 数的模，也称为的绝对值，记作，即， 表示点 到原点的距离. 合作探究 18 2.共轭复数 （1）定义：对于任