2.3 课时1 半角公式 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.3 简单的三角恒等变换 1 课时1 半角公式 2 #b# 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.（逻辑推理、数学 运算） #b# 2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.（数学运算） 学习目标 3 1.我们学过三角函数的哪些公式？ [答案] 同角基本关系式，诱导公式，两角和差的三角函数公式，二倍角公式． 2.二倍角的余弦公式是什么？ [答案] . 3.正弦、余弦、正切的半角公式是什么？ [答案] ，, ． 自主预习 4 4.半角公式中的符号是如何确定的？ [答案] （1）当给出角 的具体范围时，先求的范围，然后根据 的范围确定符号． （2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号． 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） .( ) × （2）存在，使得 .( ) √ （3）对于任意， 都不成立.( ) × （4）若 是第一象限角，则 .( ) √ 自主预习 6 2.若，，则 的值为( ) . C A. B. C. D. [解析] 由题意知，，所以，所以 ． 自主预习 7 3.设，则 _____． [解析] ． 因为，所以，，所以，故原式 ． 自主预习 8 探究1 半角公式 对于公式“ ”,探究下列问题. 问题1： 若用角 替换 ，其结果是什么？ [答案] 结果为 . 合作探究 9 问题2： 根据上述结果，试用 , 表示,, . [答案] ； ； . 问题3： 利用商数关系， 能否不用开方的形式来表示？ [答案] ； . 合作探究 10 新知生成 半角公式 ，， . 合作探究 11 新知运用 例1 已知，且，求，， 的值. 方法指导 先求出 的取值范围，再结合二倍角的降幂公式以及同角三角函数的基本关 系可求得结果. [解析] 由倍角公式可得， ， ，所以 . 由，得 ， 故，， . 合作探究 12 &1& 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常 常借助半角公式求解. （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围， 求出相应半角的范围. （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 ，其优点 是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先 利用， 计算. 合作探究 13 已知，，则 ( ) . D A. B. C. D. [解析] ，,， ， ， . 合作探究 14 探究2 万能公式 问题1： 任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有什么数量关系？ [答案] 是 的半角， 是 的半角. 问题2： 半角公式的符号是怎样确定的？ [答案] 半角公式的符号是由半角所在的象限确定的. 问题3： 当时，如何用的正切值表示 的正弦值、余弦值? [答案] ， . 合作探究 15 问题4： 是 的半角，能用不带根号的 的正弦值、余弦值表示 吗？ [答案] 能， ， 同理 . 合作探究 16 新知生成 1. . 2.万能公式 当 时， ，， . 合作探究 17 新知运用 例2 已知，，则 的值为___. 方法指导 先由求出 ， 的值，再利用余弦的二倍角公式以及诱 导公式化简，将 ， 的值代入即可求解. [解析] 因为，所以，因为 ， 所以， ， 所以 . 合作探究 18 &2& 利用万能公式解题要注意公式成立的条件. 合作探究 19 已知，则 ____. [解析] 令，则，且 ， 所以 . 合作探究 20 探究3 三角函数式的化简与证明 例3 （1）化简： . （2）证明： . 方法指导（1）利用 消去分母和分子中的“1”，然后利用 合并角，分子、分母约分可得最简形式. （2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化. 合作探究 21 [解析] （1）原式 . 又 ， ， ， 原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 合作探究 22 &3& （1）化简三角函数式时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方 法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名（化弦或化切）的方法，明确变形的 目的. （2）三角恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种. ①无条件的恒等式证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），证明的形 式有化繁为简，左右归一，变