1.4 课时2 向量线性运算的坐标表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.4 向量的分解与坐标表示 1 课时2 向量线性运算的坐标表示 2 1.掌握平面向量加法、减法、一个实数与向量的积的坐标运算法则，能够进行向量的 坐标运算.（逻辑推理、数学运算） #b# 2.掌握平面向量共线的坐标表示方法.（逻辑推理、数学运算） #b# 3.能够运用向量坐标表示和向量共线的坐标表示解决相关问题.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.上节课我们学习了平面向量的坐标表示，如果已知， ，想一 想如何由,的坐标求, 的坐标？ [答案] 可以通过坐标的加减求， 的坐标. 自主预习 4 2.我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么如何表示平面直角坐标系内的一个向量呢？ [答案] 在平面直角坐标系中，平面内的每一个向量都对应一对有序实数. 3.由于，如果，是否能得出，对于任意的 ， 都有 成立吗？ [答案] 是，成立. 自主预习 5 1.已知向量，，则 ( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题意得 . 自主预习 6 2.已知向量，，则向量 的坐标是( ) . C A., B., C. D. [解析] . 自主预习 7 3.若，，，则 ______. [解析] . 自主预习 8 4.已知向量，， . （1）求 ； （2）若，求实数 的值. [解析] （1）因为，， ， 所以 . （2）由已知可得 ， . 因为，所以，解得 . 自主预习 9 探究1 平面向量的坐标运算 设，是与轴、轴同向的两个单位向量，若， ，则 ， . 问题1： 根据向量的线性运算性质，向量，如何分别用基， 表示呢？ [答案] ， . 合作探究 10 问题2： 向量加减运算可以类比数的运算进行吗？ [答案] 向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行. 问题3： 已知，你能得到 的坐标吗？ [答案] 能，因为，所以 ，根据向量的坐标可得 . 合作探究 11 新知生成 1.两个向量坐标的和、差 两个向量， 的和（或差）的坐标等于这两个向量相应坐标 的和（或差），即 加法 减法 合作探究 12 2.向量数乘运算的坐标表示 一个实数 与向量 的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即 . 3.向量坐标 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点的坐标减去起点 的坐标 ，即 . 合作探究 13 新知运用 例1 已知向量， ，求： （1）；（2）；（3） . 方法指导 先利用数乘向量的坐标运算，再利用向量坐标的加减运算. [解析] （1） . （2） . （3） . 合作探究 14 &1& 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘的运算法则进行.若已知有向线段 两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使 用运算法则. 合作探究 15 已知向量，，则______， _________. [解析] 由，，得 ， 所以， ， 所以 . 合作探究 16 探究2 向量共线的坐标表示 设向量,,根据共线向量定理,当与 共线时,存在唯 一实数 ,使 . 问题1： 根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现与 的坐标之间的关系吗？ [答案] 因为向量与共线的充要条件是存在实数 ,使 ,用坐标表示为 ,即整理得 . 合作探究 17 问题2： 如图所示,设是线段上不同于, 的点,且满足 ,如何求点 的坐标？ 合作探究 18 [答案] 设,,则 , 即 当时, 则点的坐标为 . 特别地,①当时,点的坐标为,这就是线段 的中点坐标公式;②若 ,则点在线段 的延长线或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及平行向量 基本定理同样可得点的坐标为 . 合作探究 19 新知生成 . 简记：纵横交错积相减. 合作探究 20 新知运用 一、向量共线的判定与证明 例2 已知点，，，.判断与 是否共线？如果共线，它 们的方向相同还是相反？ 方法指导 此类题目应充分利用“若，则 ”或向量共线坐标的条件进 行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配. 合作探究 21 [解析] ， . （法一），且 ， 与 共线且方向相反. （法二），与 共线且方向相反. 合作探究 22 &2& 向量共线的判定方法 合作探究 23 二、已知平面向量共线求参数 例3 已知,,当为何值时,与 平行？平行时它们是同向 还是反向？ 方法指导（1）可利用与非零向量共线等价于（,与同向;,与 反向）求解;（2）可先利用坐标形式的等价条件求,再利用 判定同向还是反向. 合作探