第5讲 统计案例之回归分析-2024-2025学年高三数学一轮复习人教A版（2019）选择性必修三

高三一轮复习 第5讲 回归分析 一、知识梳理 1、相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2、回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心. (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关. ①r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. ②r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. (4)相关指数：R2＝1－.其中 (yi－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 3、回归方程的求解 （1）最小二乘法： 使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. （2）回归方程： 两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则，＝－.其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距. 注：回归直线必过样本中心； 类型一 散点图、相关系数与残差的概念辨析 例1 判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好．( ) （2）在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．( ) （3）越小， 线性回归模型的拟合效果越好．( ) 例2 下列命题中错误的是（    ） A．在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B．对分类变量与，它们的观察值与预期值总体偏差越大，说明“与有关系”的可能性越小 C．线性回归直线恒过样本中心 D．在回归分析中，离差平方和越小，模型的拟合效果越好 例3 对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 练1 已知变量和满足关系，变量y与正相关，则（    ） A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 练2 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 类型二 相关系数与残差的相关计算 例1 某公司研发新产品投入（单位：百万）与该产品的收益（单位：百万）的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（    ） 5 6 8 9 12 16 20 25 28 36 A．与有正相关关系 B．回归直线经过点 C． D．时，残差为0.2 例2 根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 例3 （多选题）为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（    ） A． B．回归直线必过点 C．加工60个零件的时间大约为 D．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化 练1 已知关于变量有相关关系，由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则该组观测数据中关于的回归方程可能是（    ）    A． B． C． D． 练2 已知与之间的一组数据： 0 1 2 3 1 3 5 7 则与的线性回归方程必过定点（    ） A． B． C． D． 练3 （多选题）已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是 A．相关变量x，y具有正相关关系 B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点 D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小 练4 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下