第1讲三角函数的图象与性质——《2024年高考数学二轮复习：专题1 三角函数与解三角形 》

高考数学二轮复习 专题1 三角函数与解三角形 第1讲　三角函数的图象与性质 一、命题分析 1.三角函数的图象和性质是高考必考的内容,在高考中多以选择题或填空题的形式出现。 2.高考小题对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,命题以基础性的小综合题为主。 二、知识精讲 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 对称性 对称轴:直线x=kπ+,k∈Z; 对称中心:(kπ,0),k∈Z 对称轴:直线x=kπ,k∈Z; 对称中心:,k∈Z 无对称轴; 对称中心:,k∈Z 最小正 周期 2π 2π π 单调性 单调递增区间:,k∈Z; 单调递减区间:,k∈Z 单调递增区间:[2kπ-π,2kπ],k∈Z; 单调递减区间:[2kπ,2kπ+π],k∈Z 单调递增区间:,k∈Z; 无单调递减区间 2.三角函数图象的变换 （1）先平移后伸缩 （1）先伸缩后平移 3.关于三角函数奇偶性的常用结论 (1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得。 (2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得。 (3)y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数。 三、真题体验 1.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin图象上所有的点(　 　) 1 学科网（北京）股份有限公司 A.向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 3.(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T。若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(　 　) A.1 B. C. D.3 4.(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　 　) A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考向一 三角函数的概念 【例1】(1)已知角θ终边上一点P,则cosθ的值为(　 　) A. B.- C.- D. (2)(多选)(2023·石家庄二模)在平面直角坐标系中,角α的顶点和坐标原点重合,始边和x轴的非负半轴重合,终边经过一点P,且sin α=x,则x的值可以是(　 　) A.± B.±1 C.0 D.±2 方法通悟： 1.若角α的终边过点P(x,y),则sin α=,cos α=,tan α=(其中r=)。 2.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况讨论。 【变式训练】(多选)(2023·四省适应性测试)质点P和Q在以坐标原点O为圆心,1为半径的☉O上逆时针做匀速圆周运动,同时出发。P的角速度为2 rad/s,起点为☉O与x轴正半轴的交点;Q的角速度为5 rad/s,起点为射线y=-x(x≥0)与☉O的交点。则当Q与P重合时,Q的坐标可以为(　 　) A. C. B. D. 考向二 三角函数的图象 1.角度1:三角函数的图象变换 【例2】　(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　 　) A. B. C. D. 方法通悟： 　　在图象变换中务必分清是先平移,还是先伸缩,变换只是相对其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向。 【变式训练】　把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)等于(　 　) A.sin B.sin C.sin D.sin 2.角度2:三角函数的解析式及应用 【例3】　(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到y=f(x)的图象,需将函数g(x)=Acosωx的图象至少向右平移(　 　) A.个单位长度 C.个单位长度 B.个单位长度 D.个单位长度 (2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是