精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试题

雅礼中学2024届高三综合自主测试（一） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 2. 圆心在轴上，半径为1，且过点圆的方程是（ ） A B. C. D. 3. 记为等差数列前项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 4. 若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ） A. 线段（不包含端点） B. 椭圆一部分 C. 双曲线一部分 D. 线段（不包含端点）和双曲线一部分 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 方程所有正根的和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（ ） A. 不存在点M，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为5π D. 点M到直线AB的距离的最小值为 11. 设a为常数，，则（ ）． A. B. 成立 C. D. 满足条件的不止一个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 13. 如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________． 14. 设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为________，使得取到最大值的数列的个数为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. （1）求证：； （2）设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 16. 如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. （1）若，求证：平面平面； （2）是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (1)当时，求极大值点和极小值点； (2)若在上的最大值为1，求的值. 18. 物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，） 19. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼中学2024届高三综合自主测试（一） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务