专题6-3 二项式定理【16类题型汇总】- 2023-2024学年高二数学下学期·人教A版选择性必修第三册·重难点专题突破

2023-2024学年高二下·人教A版选择性必修第三册·重难点专题突破 专题6-3 二项式定理 总览 题型解读 【题型1】求二项展开式及指定项 2 【题型2】 求指定项的系数 3 【题型3】由项的系数或系数和确定参数 5 【题型4】展开式二项式系数和 6 【题型5】展开式所有项系数和 8 【题型6】二项式系数最大的项 9 【题型7】三项展开式的系数问题 11 【题型8】两个二项式乘积展开式的系数问题 14 【题型9】等式两边不一致时需要换元或配凑 15 【题型10】奇次项与偶次项以及系数的绝对值之和 17 【题型11】赋值求系数和 19 【题型12】等式两边求导后再赋值求和 21 【题型13】展开式系数最大的项 23 【题型14】整除和余数问题 25 【题型15】二项式定理与杨辉三角 28 【题型16】二项式定理的逆用与数列结合 32 模块一 基础题型与知识点 【题型1】求二项展开式及指定项 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 1． 写出的展开式． 2． 式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【巩固练习1】项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【巩固练习2】的展开式中，有理项是第 项． 【巩固练习3】化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【题型2】 求指定项的系数 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同 3． 的展开式中的系数为 ． 4． 在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C．189 D． 【巩固练习1】的展开式中的系数为（   ） A． B．60 C．750 D．1215 【巩固练习2】在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 【巩固练习3】的展开式中的常数项为________ 【题型3】由项的系数或系数和确定参数 利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于参数的方程，解出即可. 5． 若的展开式中常数项的系数是15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【巩固练习1】的展开式中的系数是126，则（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【巩固练习2】若的展开式中的系数为15，则 ． 【题型4】展开式二项式系数和 二项式系数的和： 6． 在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为 （用数字填写答案）； 7． （多选）在的展开式中，则（    ） A．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．所有项的二项式系数和为64 【巩固练习1】若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为 . 【巩固练习2】（多选）若的二项展开式的第一项为，最后一项为，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的第四项的二项式系数等于 C．展开式中不含常数项 D．展开式中所有项的系数之和等于32 【题型5】展开式所有项系数和 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． ， 即所有项系数和，令x=1可得 8． 若的展开式中的第项为常数项，则展开式的各项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若展开式中所有项的系数和为 256 ，其中为常数，则该展开式中项的系数为 【巩固练习2】已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中的系数为 （用数字作答） 【巩固练习3】在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型6】二项式系数最大的项 二项式系数先增后减中间项最大 当为偶数时，第项的二项式系数最大，最大值为，当为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为或. 9． 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 10． 在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于 . 【巩固练习1】展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【巩固练习2】的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 . 模块二 中档题型 【题型7】三项展开式的系数问题 （1）展开式中的系数求法的整数且 （2）展开式中的项数问题 可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素， 现在从每个盒子中各取