2024新高考数学二轮复习小题专项突破最新核心题型全突破专题之三角恒等变换

3.3三角恒等变换 知识清单 目录 3.3三角恒等变换 1 知识清单 1 (一) 复习目标： 1 (二) 两角和差的三角函数 1 (三) 公式的直接应用与变形应用 9 (四) 辅助角公式及其拓展 13 复习目标： 1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 2. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，能够正确地运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 3. 在经历和参与数学发现活动的基础上，体验数学的发现与创造过程，体会向量与三角的联系，理解三角变换的基本方法，发展学生的运算能力和推理能力。 4. 理解和应用三角函数的周期性和奇偶性，掌握如何利用这些性质解决相关问题。 5. 培养学生的数学直觉和问题解决能力，让他们能够灵活运用三角恒等变换解决实际问题。 6. 通过对三角恒等变换的学习，使学生更好地理解和欣赏数学的美，提高他们对数学的兴趣和热爱。 7. 使学生了解三角恒等变换在日常生活、科学研究和工程技术等领域的应用，增强他们应用数学知识解决实际问题的能力。 这些教学目标旨在通过三角恒等变换的学习，全面提升学生的数学素养，帮助他们建立扎实的数学基础，为未来的学习和工作做好准备。同时，这些目标也体现了数学教育的核心价值，即培养学生的逻辑思维、问题解决能力和创新精神。 两角和差的三角函数 1．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②；③； 2．二倍角公式 ①；②；③； 3．辅助角公式 （其中，）．常见形式：，．总结： 1．两角和与差正切公式变形 ；． 2．降幂公式与升幂公式； ；． 3．其他常用变式 ；；． 【例题1.】 （2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】 因为，而为锐角， 解得： ． 故选：D． 【例题2.】 （2023·全国·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 【例题3.】 （2022上·云南·高三校联考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式求出的值，再利用两角和与差的正弦公式化简可求得的值. 【详解】因为， ，解得. 故选：A. 【例题4.】 （2022上·河南·高三校联考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，代入利用两角和的正余弦公式展开，与等式的左边合并整理，逆用两角和与差的正余弦公式化简整理，得到，两边同除整理即可得到答案. 【详解】因为, 所以 又因为， 所以， 对等式两边去括号，并移项整理得， ， 所以， 所以， 即， 所以. 故选：A. 【即时训练1.】 （2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练2.】 （2023·江苏南通·统考一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练3.】 （2023·广西南宁·统考一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练4.】 （2021下·高一课时练习）已知，且是第三象限角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【即时训练5.】 （2023下·山东济南·高三统考开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练6.】 （2021下·安徽芜湖·高一芜湖市繁昌区第一中学校考开学考试）已知，且，，则（　　） A． B． C． D． 公式的直接应用与变形应用 模型一 拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 模型二 【例题5.】 （山西省晋中市2021届高三上学期1月适应性考试数学（理）试题）已知．则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用辅助角公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由得， 故， 故． 故选：B. 【例题6.】 （23-24高三下·江西·开学考试）已知为锐角，且，则（    ） A． B．