（2024年高考数学专题）抛物线知识精讲+大题特训

（2024年高考数学专题）抛物线知识精讲+大题特训 知识精讲 · 知识点一：抛物线的概念 定义：平面内与一定点和一条定直线(不经过点)距离相等的点的轨迹． 定点：焦点 定直线：准线 · 知识点二：抛物线的方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 · 知识点三：抛物线的性质 焦半径：抛物线的点到焦点的距离 对于抛物线来说， 对于抛物线来说， 大题特训 1．已知，是过抛物线焦点且互相垂直的两弦． （1）若直线的倾斜角为度，求弦长； （2）求的值． 2．已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6. （1）求抛物线C的方程； （2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程. 3．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离. 4．已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为． （1）求抛物线的方程； （2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求． 5．已知点为抛物线：的焦点，点，，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）若正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上，求． 6．已知点为抛物线：的焦点，点，，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点、与、不重合，求证：直线过定点． 7．已知抛物线：与圆：相交于四个点． （1）当时，求四边形面积； （2）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值． 8．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论． 如图所示，抛物线 ，其中 为一给定的实数.． （1）写出抛物线 的焦点坐标及准线方程； （2）若直线 与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； （3）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F， 证明： ． 9．已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且． （1）设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴； （2）若点P为半圆上的动点，且，求四边形ABDC面积的最大值． 10．已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于两点（异于坐标原点），交轴于点（），且，直线，且与抛物线相切于点. （1）求证：三点共线； （2）过点作该抛物线的切线（点为切点），交于点. （ⅰ）试问，点是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：题设，直线、的斜率一定存在，直线的斜率为， 直线、互相垂直，所以斜率乘积为， 因此直线的斜率为，直线的方程为， 设，，联立抛物线方程，可得， 又，， （2）解：由题设，直线、的斜率一定存在， 设为，，， 联立抛物线方程，可得且， ，又，， ， 由，设为， 联立直线与抛物线的方程，消去可得：， 同理有， ， ． 故答案为： 2．【答案】（1）解：由题设，抛物线准线方程为， ∴抛物线定义知：可得，故 （2）解：由题设，直线l的斜率存在且不为0，设 联立方程，得， 整理得，则. 又P是线段AB的中点，∴，即 故l 3．【答案】（1）解：∵双曲线的焦点坐标为， 又抛物线（）的焦点， ∴，即. ∴抛物线C的方程为 （2）解：设，，由抛物线定义， 知， ∴，于是线段的中点M的横坐标是3， 又准线方程是， ∴点M到准线的距离等于. 4．【答案】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为关于抛物线的准线的对称点为， 所以有； （2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得 ，设， 因此有， 则有 5．【答案】（1）解：由题点为抛物线：的焦点，点，， 可得，则，， 又，故，整理得，即． 所以抛物线的方程为． （2）解：正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上， 因为是正方形，所以，直线与之间的距离等于， 设直线的方程为：，与联立，消去得：， 由，得， 设，，则，， 所以， 直线与间的距离为， 所以，整理得：， 由于，故解得， 所以， 故． 6．【答案】（1）解：由题设，则，， 又， 故，整理得， 解得． 所以抛物线的标准方程为； （2）证明：若直线不过点，如图， 设，， 由题意可知直线的斜率存在且不为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 由直线过定点，可得， 同理直线的方程为， 过焦点，可得， 的方程，过焦点，可得