2024高考数学一轮复习讲义（新高考版）第3章　§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算

§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 考试要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 . f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝______ f(x)＝cos x f′(x)＝______ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ex f′(x)＝______ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝_____ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ ； [f(x)g(x)]′＝ ； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝ ． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 1．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.′＝(f(x)≠0)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　 　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　 　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　 　) (4)(cos 2x) ′＝－2sin 2x.(　 　) 教材改编题 1．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则(　　) A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x B．f′(x)＝3x＋2cos 2x C．f′(x)＝＋cos 2x D．f′(x)＝－2cos 2x 2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ． 3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ . 题型一　导数的运算 例1　(1)(多选)下列求导正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C.′＝ D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x (2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于(　　) A．1 B．－9 C．－6 D．4 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 跟踪训练1　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3) B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1 C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1 (2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝ . 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 例2　(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　) A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0 C．4ex＋y＋e2