2024年九年级中考数学复习 专题一 旋转模型总结复习

旋转复习 最值系列之费马点 问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小． 问题解决： 若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点． 具体操作： 将△APC绕着A点旋转60°，得到△AQE，B、P、Q、E三点共线时PA+PB+PC值最小 如何作费马点 问题要从初二学到的全等说起： （1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE． （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE． （3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°． 但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是 ∠BAC<120°，若 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子： 此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了． 例题练习 1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值______． 2、（08年广东中考）已知正方形ABCD内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长______。 3、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______． 4、如图，四边形 是菱形，AB=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 奔驰模型 模型介绍： 因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 . 结论：如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5， 则①∠APB=150º， ②S△ABC＝AB2＝ 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 例题巩固： 1、如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝　　． 2、已知，如图，为等边三角形内一点，，，，求的面积． 3、如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若，，．则＝_______． 4、阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求度数． 小明发现，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图． 请回答：图1中的度数等于　　，图2中的度数等于　　． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在平面直角坐标系中，点坐标为，，连接．如果点是轴上的一动点，以为边作等边三角形．当在第一象限内时，求与之间的函数表达式． 半角模型 正方形的半角结论 如图，已知正方形，点、分别在、上，且。 结论1：；图1 证明：延长EB至G，使BG=DF。 先证明（SAS）， 推导出AG=AF，∠GAE=∠EAF=45°， 在证明（SAS）， 即可证明。 结论2：，； 证明：由结论1可知：， 所以∠GEA=∠FEA， 可证。 同理可证：。 结论3：； 证明：由结论1可知：， 所以。 结论4：； 证明：由结论1可知：， 因为， 所以 图2 结论5：（见图2）； 证明：由结论1可知：， 所以， 因为， 所以。 结论6：（见图3、4）； 图4 图3 证明：如图4，作，，连接。 先证明（SAS）， 推导出， 在证明（SAS）， 推到出， 在中：，即。 结论7：；图3 证明：通过倒角证明两个角相等，推导出相似。 因为 所以。 同理，其他结论都可以进行证明。 结论8：（见图5）；图5 证明：连接， 因为 所以 因为 所以， 所以 因为， 所以 所以 同理可证， 所以。 结论9：（见图3）；图3 证明：因为， 所以 因为， 所以。 结论10：四点共圆；四点共圆；四点共圆； 图6 图7 图8 证明：因为结论7已证 所以 所以弦所对圆周角相等， 所以四点共圆， 同理可证四点共圆； 又因为四点共圆， 所以为圆的直径， 所以 所以所以四点共圆。 结论11：、为等腰直角三角形； 证明：因为四点共圆， 所以为圆的直径， 所以 因为 所以为等腰直角三角形； 同理可证为等腰直角三角形。图3 结论12：； 证明：因为， 所以 由结论8可知， 所以。 其他半角模型总结 习题练习 1、如图，正方形ABCD的边长为4