数列奇偶项问题 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

数列奇偶项问题 目录 题型1或 题型2 题型3含 解题策略1： ①项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 常见类型： ①，求的值；则 ②，求的值。 n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 解题策略2： 例题讲解 题型1或 例1在数列中，已知，，则的前11项的和为（    ） A．2045 B．2046 C．4093 D．4094 解析由，得，而，解得， 所以的前11项的和 . 故选：C 例2在数列中，已知，且，则其前项和的值为（    ） A． B． C． D． 解析. 故选：C. 例3已知数列，，，则等于（    ） A．3027 B．3028 C．3034 D．3035 解析因为，， 所以. 故选：C. 例4在数列中，，，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C．0 D．3 解析因为，，， 所以，，，，，，， 所以是以为周期的周期数列，且， ，，， 所以. 故选：B 题型2 例5大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 . 解析由题意知，， 故数列的前30项和为 ， 例6已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．则数列的前n项和为 ． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 则，所以数列的通项公式是， 则，，， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 所以，. 故答案为：. 例7已知数列满足，，则的前20项和为 . 解析因为，所以， 即，所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知， 数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 故答案为：. 例8已知数列的通项，则的前n项和 . 解析由， 当为偶数时，，， 当为奇数时，， 所以. 故答案为：. 例9已知数列满足，，则的前40项和为 . 解析因为，，又，所以， 即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列． 所以前40项和为． 故答案为：. 例10已知数列的通项，则的前项和 解析由题意，当为偶数时，，， 当为奇数时，， 所以. 故答案为：. 例11已知数列满足，． (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和，并证明． 解析（1）证明：由题意可知，， 所以数列是首项，公比为6的等比数列. 于是. （2）由题意可知，，所以 . 又， 令， ， 所以数列单调递增，故，即. 例12已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：当时，． 解析（1） 因为，， 所以，，. 所以，所以， 因为． 所以是等比数列，首项，公比，所以． （2） 由（1）可得， 先证明左边：即证明， 当时，， 所以， 所以， 再证明右边：， 因为， 所以， 即，下面证明， 即证，即证 设，，则，设，， 因为，所以函数在上单调递增， 则，即，， 所以，所以． 综上，． 例13已知数列的前项和为，满足，． (1)若数列满足，求的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求． 解析1）解：因为数列满足，， 则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，则. （2）解：由（1）可得， 所以，， 当为奇数时，设，则， 则； 当为偶数时，设，则，则. 综上所述，. 因为 ， ， 所以，. 例14已知递增的等比数列满足，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 解析（1）由题意，设等比数列的公比为， 则， 成等差数列， ，即， 化简整理，得， 解得（舍去），或， 首项， . （2）由（1）可得 则数列的前项和为 题型3含 例15数列{}中，，前和为，则为（   ） A．-12 B．16 C．-10 D．12 解析解：因为， 所以， ， ， ， 故选：A 例16数列的通项公式其前n项和为，则等于 A．1006 B．2012 C．503 D．0 解析 故选：A. 例17若数列的通项公式，则 A．-200 B．-100 C．200 D．100 解析由题得……，， ， 故选：D. 例18已知数列满足，设其前项和为，则（    ） A．2500 B．2600 C．270