考点05 全等三角形-备考2024年中考数学一轮专题复习讲练（安徽专用）

考点五 全等三角形 知识点整合 二、全等三角形 1．三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 考向一 全等三角形 1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路： （1）已知两边 （2）已知一边、一角 （3）已知两角 2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 典例引领 1．在学习了全等三角形的判定后，聪明的小惠猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．她根据命题的意义画出了图形（如图），并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，和分别是和的中线，，，______． 求证：． 2．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 3．如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 4．阅读理解，自主探究：    (1)如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．求证． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时、、之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)当时，线段的长为______，当时，线段的长为______（用含t的式子表示）． (2)请判断与的数量与位置关系，并证明你的结论． (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 6．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，且a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1所示，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点，交的延长线于点，求点的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，若交于点，连接，求证：． 7．已知：如图，，，，求证：． 变式拓展 8．如图，，．求证：． 9．学习与探究： 如图1，是的平分线，点A是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是_________． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数； （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由． 10．在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．    (1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：； (2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由； (3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于