考点04 等腰三角形与直角三角形-备考2024年中考数学一轮专题复习讲练（安徽专用）

考点四 等腰三角形与直角三角形 知识点整合 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°． 2．等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 二、等边三角形 1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． 3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 三、直角三角形与勾股定理 1．直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 性质：（1）直角三角形两锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形； （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2．勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 考向一 等腰三角形的性质判定 1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网 3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=． 6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形． 典例引领 1．如图，边长为6的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（    ）个． ①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（    ） A． B． C．减 D．或 二、填空题 3．如图，在中，，，D为中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有以下结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的结论有 （填序号） 4．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点．若，则的周长是 ． 5．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 变式拓展 6．（1）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了这样的问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结．请根据小明的方法思考： 如图2，由已知和作图能得到的理由是 选填（SSS，SAS，AAS，ASA） （2）【问题解决】 根据图2，求出中线的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （3）【拓展延伸】 如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 7．（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 8．如图，在中，、分别为、边的垂直平分线，连接、．    (1)求证：； (2)若，，则的周长为 ． 9．如图所示，在中，，F是延长线上一点，点E在上，且．      求证： (1)； (2)判断的关系，并证明． 考向二 等边三角形的性质与判定 1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的