8.2.4三角恒等变换的应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

8.2.4 三角恒等变换的应用 同学们听说过“蝴蝶效应”吗? 是说南美洲热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能会引起北美洲德克萨斯的一场龙卷风.看起来毫不相干的事物都会有这样的联系，那么像与这样的“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！ 1.掌握半角的正弦、余弦、正切公式的推导方法及结构特点. 2.能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.（重点、难点） 探究点1：半角公式 思考：利用倍角公式能够得到 及吗？ 公式推导： cos 2α = 1 − 2sin2α 以 α 代替 2α，以 代替 α cos α = 1 − 2sin2 sin2 = ① cos 2α = 2cos2α − 1 以 α 代替 2α，以 代替 α cos2 = cos α =2cos2 − 1 ② 将①②两个等式的左右两边分别相除 tan2 = 例 1.求证： （1） = tan ； （2） = tan . 解： （2） = = tan . （1） = = = tan ； sin2 = cos2 = tan2 = 半角公式： sin = ± cos =± tan =± 1.公式的“本质”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2.根号前均有“± ”，它是由角“ ”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“± ”应保留. 3.半角之间的相对性. 注意： 拓 展 遇到“平方”即 “降幂”. 即使训练:求,,. 解：因为是第一象限角，所以 sin = = 变式练习：等腰三角形顶角的余弦值为,求它的底角的正弦、余弦和正切. 探究点2：积化和差与和差化积公式 思考1：如果已知,,你能求出以及的值吗？ cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，① cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，② 公式推导： cos (α + β) + cos (α – β) = 2cos α·cos β ①＋② cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)] cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，① cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，② ①−② cos (α + β) cos (α – β) = 2sin α·sinβ sinα·sin β = [cos (α+β) cos (α – β)] 思考2：如果已知,,你能求出以及的值吗？ 公式推导： sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，① sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，② sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ①＋② sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，① sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，② ①−② sin (α + β) sin (α – β) = 2cos α·sinβ cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)] ①cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)] ②sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] ③sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] ④cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)] 积化和差公式 α = ，β = （1）sin θ + sin φ = 2sin cos；  （2）sin θ – sin φ = 2cos sin； （3）cos θ + cos φ = 2cos cos； （4）cos θ – cos φ = –2sin sin.  和差化积公式 例 2.求函数 f (x) = sin(x + )cos x 的周期与最大值. 解：由积化和差公式可知： f (x) = [sin(2x + ) + sin()] = sin(2x + ) + ， 所以函数的周期为 π，最大值为 + . 例 3.求函数 f (x) = sin(x + ) + sin(x –