第09讲 数列求和及其综合应用（2大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第09讲　数列求和及其综合应用（2大考点+强化训练） [考情分析]　1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等． 知识导图 考点分类讲解 考点一：数列求和 1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝； ＝. 2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列． 规律方法　(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差． (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项． (3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式． 考向1　分组转化法 【例1】（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·甘肃·一模）已知函数（为自然对数的底），，记为从小到大的第个极值点，数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】2024·四川宜宾·二模）数列中，是数列的前项和，已知，数列为等差数列，则 . 【变式3】(2023·枣庄模拟)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＋2an＝2n＋2. (1)证明：{an－2n}为等比数列； (2)已知bn＝Tn为{bn}的前n项和，求T10. 考向2　裂项相消法 【例2】（2024·广东·模拟预测）令．则的最大值在如下哪个区间中（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3】(2023·沈阳质检)设n∈N*，向量＝(n－1,1)，＝(n－1,4n－1)，an＝·. (1)令bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}为等差数列； (2)求证：＋＋…＋<. 考向3　错位相减法 【例3】（2024高三·江苏·专题练习）已知数列中，，设为前项和，，若数列的前项和，则若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2023·江苏徐州·模拟预测）函数满足、，都有，且，则（    ） A． B．数列单调递减 C． D． 【变式2】（2024高三·江苏·专题练习）记数列的前n项和为，且，设m为整数，且对任意，，则m的最小值为 ． 【变式3】(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 考点二：数列的综合问题 数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养．解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解． 规律方法　数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识． 【例4】（2024高三·上海·专题练习）数列各项均为实数，对任意满足，定义: 行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2024·河南·模拟预测）对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏徐州·一模）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3】(2023·武汉模拟)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么称