第08讲 等差数列、等比数列（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第08讲　等差数列、等比数列（3大考点+强化训练） [考情分析]　1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点． 知识导图 考点分类讲解 考点一：等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1， an＝am·qn－m. (3)等差数列的求和公式： Sn＝＝na1＋d. (4)等比数列的求和公式： Sn＝ 规律方法　等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列． (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算． 【例1】（23-24高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知正项等差数列满足，则（    ） A．39 B．63 C．75 D．99 【变式1】（2024·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 【变式2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知数列满足，若，，则 ． 【变式3】(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于(　　) A. B. C．15 D．40 【变式4】(2023·安康模拟)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天行走的里程数约为(　　) A．2.76 B．5.51 C．11.02 D．22.05 【变式5】(2023·河南联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为(　　) A．4.5尺 B．3.5尺 C．2.5尺 D．1.5尺 【变式6】(2023·石家庄质检)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1＝4，S3＝84，则log2a1a2a3…a8的值为(　　) A．70 B．72 C．74 D．76 考点二：等差数列、等比数列的性质 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)． (2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an. 规律方法　等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． 【例2】（2024·吉林白山·二模）记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（2024·安徽合肥·一模）数列中，，，则（   ） A．210 B．190 C．170 D．150 【变式2】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比为，则（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 【变式3】(多选)(2023·济宁质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7a8<0，则(　　) A．数列{an}是递增数列 B．S6>S9 C．当n＝7时，Sn最大 D．当Sn>0时，n的最大值为14 【变式4】(2023·咸阳模拟)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若(2n＋3)Sn＝nTn，则等于(　　) A. B. C. D. 【变式5】(2023·沧州质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则S24＝________. 【变式6】(2023·全国