13.探秘高考概率统计中的“经验回归方程拟合与模型预测”考题-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

探秘高考概率统计中的 “经验回归方程拟合与模型预测”考题 ■浙江省湖州市菱湖中学 吴 凯 ■浙江省湖州市教育科学研究中心 王勇强 近几年,线性回归问题已成为高考全国 卷概率统计中的一个热门考题,下面通过四 个典型例题来梳理考点知识内容,并分析解 题要点,以备战新高考。 类型一、指数函数型转化为一元线性回 归问题 例 1 2018年11月5日至10日,首 届中国国际进口博览会在国家会展中心(上 海)举行,吸引了58个“一带一路”沿线国家 的超过1 000多家企业参展,成为共建“一带 一路”的又一个重要支撑。某企业为了参加 这次盛会,提升行业竞争力,加大了科技投 图1 入。该企业连续6年 来的科技投入x(百 万元)与收益y(百万 元)的数据统计如表1 所示,并根据数据绘制 散点图,如图1所示。 表1 科技投入x 2 4 6 8 10 12 收益y 5.66.512.027.580.0129.2 根据散点图的特点,甲认为样本点分布 在指数曲线y=c·2bx 的周围,据此他对数 据进行了一些初步处理,如表2所示。 表2 􀭵y 43.5 􀭵z 4.5 ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) 854.0 ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)(zi-􀭵z) 34.7 ∑ 6 i=1 (yi-􀭵y) 2 12 730.4 ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x) 2 70 其中zi=log2 yi,􀭵z= 1 6∑ 6 i=1 zi。 (1)①请根据表1中的数据,建立y 关于 x 的回归方程;(保留一位小数) ②根据所建立的回归方程,若该企业想 在下一年收益达到2亿,求科技投入的费用 至少要多少。(其中log2 5≈2.3) (2)乙认为样本点分布在二次曲线y= mx2+n 的周围,并计算得回归方程为y= 0.92x2-12.0,以及该回归模型的决定系数 R2=0.94,试比较甲、乙两人所建立的模型, 谁的拟合效果更好。 附:回归直线v̂=̂α+̂βu的斜率和截距的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 β̂ = ∑ n i=1 (ui -􀭵u)(vi -􀭵v) ∑ n i=1 (ui -􀭵u)2 ,̂α=􀭵v-̂β􀭵u;决定系数 R2=1- ∑ n i=1 (vi -̂vi)2 ∑ n i=1 (vi -􀭵v)2 。 解析:(1)①􀭺x= 2+4+6+8+10+12 6 = 7,令z=log2 y=bx+log2 c;再令a=log2 c, 则z=bx+a。根据最小二乘法估计公式可 知,̂b= ∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)(zi -􀭵z) ∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)2 = 34.7 70 ≈0.5 , 从而â=􀭵z-̂b􀭺x=4.5-0.5×7=1,故回归方 程为z=0.5x+1,即y=20.5x+1。 ②设 20.5x+1 ≥200,则 有 0.5x+1≥ log2 200,即x≥4+4log2 5≈13.2。 故科技投入的费用至少要13.2百万元, 下一年的收益才能达到2亿。 (2)甲建立的回归模型的残差如表3所 示: 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年3月 表3 yi 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2 ŷi 4 8 16 32 64 128 yi-̂yi1.6-1.5 -4 -4.5 16 1.2 所以 ∑ 6 i=1 (yi -ŷ)2=298.5,从而R2= 1- 298.5 12 730.4≈1-0.02=0.98>0.94 。 所以甲建立的回归模型拟合效果更好。 评注:本题主要考查求回归方程及决定 系数,属于较难的考题。第(1)问的第①小 问,要求根据题意构建指数曲线y=c·2bx, 而它实际上为非线性关系,我们通过换元令 z=log2 y,则z=bx+log2 c,再令a=log2 c, 那么建立线性关系z=bx+a,于是可以根据 最小二乘法估计公式得到b̂≈0.5,̂a=1,于 是z=0.5x+1,从而确定y 关于x 的回归方 程;第②小问是在第①小问的基础上,由不等 式20.5x+1≥200,解得x 的取值范围即可,属 于模 型 的 简 单 应 用———预 测 未 来 数 据。第 (2)问,先计算甲建立的回归模型的残差平方 和∑ 6 i=1 (yi -ŷ)2=298.5,再计算甲模型的决 定系数R2=0.98,与乙模型的相关指数比较 大小即可。本题中的乙模型仅作为一个对比 数据,无须计算。 类型二、对数函数型转化为一元线性回 归问题 例 2 某果园种植“糖心苹果”已有十 余年,为了提高利润,该果园每年投入一定的