12.例说概率与数列交汇问题的模型归纳与突破-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■浙江省湖州市第二中学 曹亚奇 众所周知,近几年的全国高考解答题越 来越注重知识的全面性、综合性。尤其是综 合情境问题、跨章节的知识交汇问题是同学 们学习备考的痛点所在。而此类问题注重数 学本质和思维品质的考查,对同学们分析阅 读、模型识别、数学抽象的能力要求颇高。 在新课程、新教材实施的“双新”背景下, “概率与统计”的高考要求显著提升,同学们 不仅要掌握基本知识和方法,还要能串联交 汇知识、归纳模型方法、提炼数学本质,以促 进核心素养的提升。本文将从“二项分布概 率最值”“极大似然估计”及“一维随机游走” 这三类概率与数列交汇问题模型出发,通过 解析归纳,帮助同学们突破难点。 一、二项分布概率最值模型 例 1 一个质点在随机外力的作用 下,从原点出发,每次向左或者向右移动一个 单位。若每次向左移动的概率是1 3 ,向右移 动的概率是 2 3 ,共移动8次,请问:质点最终 位于哪个位置的可能性最大? 并说明理由。 解析:设 X 为质点向右移动的次数,显 然X 符 合 二 项 分 布,于 是 P(X =k)= Ck8 2 3 k 1 3 8-k ,k=0,1,2,…,8。 则 P(X=k) P(X=k-1)= Ck8 2 3 k 1 3 8-k Ck-18 2 3 k-1 1 3 9-k= 8! k! (8-k)! 8! (k-1)! (9-k)! · 2 3 1 3 = 2(9-k) k 。 令 2(9-k) k ≥1 ,得k≤6。 所以P(X=6)=P(X=5),即质点向右 移动6次和移动5次的概率最大。此时质点 最终位于原点右侧2个单位和4个单位的可 能性最大。 点评:该题中的“质点的移动”符合二项 分布背景下求概率最值模型。我们将 P(X =k)看成数列{ak}中的第k 项ak,则可利用 数列的单调性来求解相应的最值。 归纳推广: 若随机变量 X~B(n,p), P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…, n,则k取何值时,P(X=k)达到最大? 解 析: 令 P (X=k) P(X=k-1) ≥ 1 , 即 Cknpk(1-p)n-k Ck-1n pk-1(1-p)n+1-k = n+1-k k · p 1-p ≥1, 则k≤(n+1)p。 若(n+1)p 为整数,则有 P(X=(n+ 1)p)=P(X=(n+1)p-1),所以当X=(n +1)p 或X=(n+1)p-1时概率最大。 若(n+1)p 为非整数,则当 X=[(n+ 1)p]时概率最大。 特别地,若np 是整数,则当且仅当 X= np 时概率最大。 二、极大似然估计模型 基本原理:已知函数p(x/θ)中,x 表示 某一个具体的数据,θ表示模型的参数。如 果θ是已知确定的,x 是变量,那么这个函数 叫作概率函数,它描述对于不同的样本点x, 其出现的概率是多少(如例1)。如果x 是已 知确定的,θ是变量,那么这个函数叫作似然 函数,它描述对于不同的模型参数,出现x 这 个样本点的概率是多少。 极大似然估计,通俗理解来说,就是利用 已知的样本结果信息,反推最具有可能(最大 概率)导致这些样本结果出现的模型参数值。 例 2 请设计一款小游戏:一个盒子 中有大小相同的3个红球和若干个白球,每 次从盒子中取一个球,记下颜色后放回,连续 取6次,若使得取到3个红球的概率最大,则 白球的个数为 。 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年3月 解析:设取到红球的个数为X,每次取到 红球的概率为p,则X~B(6,p)。 令 P(X=k) P(X=k-1)= Ck6pk(1-p)6-k Ck-16 pk-1(1-p)7-k = 7-k k · p 1-p ≥1,则k≤7p。 若7p 为整数,则7p=3或7p-1=3,所 以白球有4个。 若7p 不是整数,则3<7p<4,所以白球 有3个。 综上可得,白球可以有3个或者4个。 点评:该题中的X~B(6,p)符合极大似 然估计模型(模型已定,参数未知)。我们依 然可以利用数列的单调性来求解最值。 实际上,极大似然估计除了可以解决二 项分布中的最值问题,也可以应用到超几何 分布的题型中去。 例 3 2023年中央一号文件指出:“民 族要复兴,乡村必振兴。”为助力乡村振兴,某 电商平台准备为某地的农副产品开设直播带 货专场。直播前,此平台用不同的单价试销, 并在购买的顾客中进行体验调查问卷。已知 有N(N>30)名热心参与问卷的顾客,此平 台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活 动,每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名顾客中抽取20名顾客,抽中的顾客会有礼 品赠送,若直播时这 N 名顾