11.概率新宠之独立性检验-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■浙江省湖州中学 沈潮海 随着新一轮高考改革的推进,2×2列联 表与独立性检验作为教材新增教学内容,已 然成为了新高考的一个热点问题,相关知识 的考查在最近两年各省市的高考模拟卷中也 是屡见不鲜。在求解过程中,需要同学们准 确融入问题情境,根据概率与统计知识整合 出列联表数据,然后利用卡方公式求χ2 的值 并分析两个相关变量之间的独立性。 类型一、列联表与古典概型的综合运用 例 1 2023年7月28日,第三十一届 世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕。为 庆祝大运会的到来,有 A,B,C,…,J 共10 位跳水爱好者自发组建了跳水训练营,并邀 图1 请 教 练 甲 帮 助 训 练。 教练甲训练前对10位 跳水员进行测试打分, 得分情况如图1中的虚 线所示;集训后再进行 测试,10位跳水员的得 分情况如图1中的实线所示。规定满分为10 分,记得分在8分以上的为“优秀”。 表1 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 (1)将表1所示的列联表补充完整,根据 小概率值α=0.01的独立性检验,试判断跳 水员的优秀情况与训练是否有关。 (2)现决定从训练后成绩最好的5人中任 选2人为亚运游泳场馆的志愿者,求所选2人 中至少有1人训练前成绩已为优秀的概率。 附:χ2= (a+b+c+d)(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 。 表2 α 0.1000.0500.0250.0100.0050.001 xα 2.7063.8415.0246.6357.87910.828 解析:(1)由图1可得列联表为表3: 表3 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 2 8 10 训练后 8 2 10 合计 10 10 20 零假设 H0:假设跳水员的优秀情况与训 练无关。 因为χ2= 20×(4-64)2 10×10×10×10= 36 5=7.2> 6.635,所以可根据小概率值α=0.01的独立 性检验知 H0 不成立,即跳水员的优秀情况 与训练有关。 (2)由图1知,训练后成绩最好的5人中 有2人训练前成绩为优秀,所以5人中任选2 人训练前成绩均不优秀的概率为 C23 C25 = 3 10 ,故 所选2人中至少有1人训练前成绩已为优秀 的概率为1- 3 10= 7 10 。 点评:此类题型主要以2×2列联表为载 体,基于独立性检验的基本思想,考查同学们 的数据计算能力,并巧妙地将古典概型的概 率计算融入其中。 类型二、列联表与统计图表的综合运用 例 2 为了研究学生每天整理数学错 题情况,某课题组在某市中学生中随机抽取 了100名学生调查了他们期中考试的数学成 绩和平时整理数学错题情况,并绘制了如图 2、图3所示的两个统计图表,图2为学生期 中考试数学成绩的频率分布直方图,图3为 学生一个星期内整理数学错题天数的扇形 23 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年3月 图。若本次数学成绩在110分及以上视为优 秀,将一个星期有4天及以上整理错题视为 “经常整理”,少于4天视为“不经常整理”。 已知数学成绩优秀的学生中,经常整理数学 错题的学生占70%。 表4 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 图2 (1)求图2中 m 的值 及 学 生 期 中 考 试数 学 成 绩 的 上 四 分位数。 (2)根据图2、图 3中的数据,补全表 图3 4所示的2×2列联表,并根据小 概率值α=0.05的独立性检验, 分析数学成绩优秀与经常整理数 学错题是否有关。 (3)用频率估计概率,在全市 中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理 错题”进行分层抽样,随机抽取5名学生,再 从这5名学生中随机抽取2人进行座谈。求 这2名同学中经常整理数学错题且数学成绩 优秀的人数X 的分布列和数学期望。 附:χ2= (a+b+c+d)(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 。 表5 α 0.1000.0500.0250.0100.0050.001 xα 2.7063.8415.0246.6357.87910.828 解析:(1)由题意得(0.002 5+0.005+ 0.017 5+m+0.01)×20=1,解 得 m = 0.015。 因为0.05+0.1+0.35=0.5<0.75, 0.05+0.1+0.35+0.3=0.8>0.75,所以学 生期中 考 试 数 学 成 绩 的 上 四 分 位 数 位 于 [110,130)内,设为n,则0.5+0.015(n- 110)=0.75,解得n= 380 3 ,所以学生期中考 试数学成绩的上四分位数为 380 3 分。 (2)由题意知,数学成绩优秀的有100× 50%=50(名