10.概率与统计模块中典型易错点的剖析与点拨-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■广东省惠州仲恺中学 陈伟流 ■广西民族大学数学与物理学院 王世举 概率统计问题因与实际生活联系密切, 向来是高考考查的热点及重点。自新教材、 新高考的实施推广以来,概率与统计模块相 较于旧知识体系,其知识比重变大,难度增 加,相应试题的灵活性更强,对同学们分析问 题与解决问题的能力提出了更高的要求。因 此,笔者针对概率与统计中常见的典型易错 点展开分析点拨与纠错追源,旨在帮助同学 们更加全面科学地理解辨析相关概念、公式 之间的区别与联系,增强模型应用意识,从而 促进高考复习备考的提效增质。 一、混淆“互斥”与“对立”致错 例 1 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地 分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张, 则事件“甲 分 得 红 牌”与“乙 分 得 红 牌”是 ( )。 A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上均不对 错解:选A。 剖析:本题错误的原因在于把“互斥”与 “对立”的概念混同,无法厘清二者在本质上 的区别与联系。 正解:因为事件“甲分得红牌”与“乙分得 红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事 件可能恰有一个发生,一个不发生,也可能两 个都不发生,所以两个事件互斥但不对立。 故选C。 点拨:对立事件与互斥事件的联系与区 别主要体现在以下三个方面:(1)两个事件对 立,必定互斥,但互斥未必对立。(2)互斥的 概念适用于多个事件,但对立的概念只适用 于两个事件。(3)两个事件互斥只表明这两 个事件不能同时发生,即至多只能发生其中 一个,但可以都不发生;而两个事件对立则表 明它们有且仅有一个发生。 二、混淆“条件概率P(B|A)”与“积事件 的概率P(AB)”致错 例 2 已知袋中有6个黄色、4个白色 的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取 2次,求第二次才取到黄色球的概率。 错解:记“第一次取到白球”为事件 A, “第二次取到黄球”为事件B,“第二次才取到 黄球”为事件C,所以P(C)=P(B|A)= 6 9 = 2 3 。 剖析:本 题 错 误 的 原 因 在 于 没 有 把 P(AB)与P(B|A)的含义弄清楚,P(AB) 表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概 率;P(B|A)表示在缩减的样本空间SA 中, 作为条件的事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。 正解:P(C)=P(AB)=P(A)·P(B| A)= 4 10× 6 9= 4 15 。 点拨:对于有限样本空间中的条件概率, 可借助古典概型的概率公式,先求事件A 包 含的基本事件数n(A),再求事件AB 所包含 的基本事件数n(AB),进而得 P(B|A)= n(AB) n(A) ;而积事件的概率计算本质上是概率 乘法 公 式 的 应 用,即 P (AB)=P (A)· P(B|A)。 三、混淆“有放回”与“不放回”致错 例 3 某产品有3只次品,7只正品, 每次取1只测试,取后不放回,求: (1)恰好到第5次3只次品全部被测出 的概率; (2)恰好到第k 次3只次品全部被测出 的概率f(k)的最大值和最小值。 82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年3月 错解:(1)P= 3 10× 2 9× 7 8× 5 7× 1 6= 1 144 。 (2)由题意可知f(k)= C23Ck-37 Ak-1k-1 Ak10 = (k-1)(k-2) 240 = k2-3k+2 240 (k=3,4,…,9), 显然,y=f(k)在{3,4,…,9}上单调递增,故 当k=3时,f(k)min=f(3)= 1 120 ;当k=9 时,f(k)max=f(9)= 7 30 。 剖析:第(1)问错误的原因在于忽视了 “不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立 的;第(2)问的解答虽然考虑了“不放回摸 球”,即每一次摸球后袋内球的总数是变化 的,但忽略了概率的计算方法值在不同区间 (k∈[3,6]及[7,9],k∈N)上的分类讨论。 正解:(1)P= C23C27A44 A510 = 1 20 。 (2)根据题意可得,k 的范围是3≤k≤9 且k∈N。 当3≤k≤6时,若恰好在第k 次测试时 3件次品全部被测出,则第k 次取出第3件 次品,前k-1次中有2次是次品,有k-3次 是正品;而从10件产品中顺序取出k 件,有 Ak10 种 情 况,则 f (k)= C23Ck-37 Ak-1k-1 Ak10 = (k-1)(k-2) 240 = k2-3k+2 240 (k=3,4,5,6), 则f(3)= 1 120 ,f(4)= 1 40 ,f(5)= 1 20 ,f(6)= 1 12 。 当k=7时,即恰好在第7次测试时3件 次品全部被测出,有两