9.基于正态分布的命题考查方式-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■徐州市第一中学 庄后伟 生产、科研和日常生活中经常会遇到一 类随机现象:诸多相互独立的偶然因素各自 的作用是均匀和细微的,而对事件整体往往 产生综合的“累积”效果。表示这类随机现象 的随机变量的概率分布近似服从正态分布。 正态分布是自然界中最常见的一种分布,在 理论研究和实际应用中有着非常重要的价 值,也成为高考数学试卷中命题的一个重要 方向,备受各方关注。 一、正态分布与排列组合的交汇 例 1 新高考改革后,广西采用“3+1 +2”的高考模式,“3”指的是语文、数学、外 语,这3门科目是必选的;“1”指的是要在物 理、历史2门中选择1门;“2”指的是要在生 物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门。 (1)若按照“3+1+2”的模式选科,求甲、 乙两名学生恰有4门科目相同的选法种数。 (2)某教育部门为了调查学生的语文、数 学、外语3门科目的成绩,现从当地不同层次 的学校中抽取高一学生5 000名参加语文、数 学、外语的网络测试(满分450分),假设该次 网络测试的成绩服从正态分布N (240,602)。 ①估计5 000名学生中成绩介于120分 到300分之间的人数; ②某校对外宣传“我校200人参与此次网 络测试,有10名同学获得430分以上的高分”, 请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度。 参考 数 据:P(μ-σ≤X ≤μ+σ)≈ 0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 解析:(1)甲、乙两名学生必选语文、数 学、外语,即已有3门科目相同。 下面分类讨论第4门科目相同的情况: 若第4门科目是物理、历史中的1门,有 C12=2(种),则剩余2门科目不同,有C24C22= 6(种),故有2×6=12(种); 若第4门科目是生物学、化学、思想政治、 地理4门中的1门,则有A22C14A23=48(种)。 综上可知,甲、乙两名学生恰有4门科目 相同的选法种数为12+48=60(种)。 (2)①设此次网络测试的成绩为X,则有 X~N(240,602)。 由题知μ=240,σ=60,所以μ-2σ= 120,μ+σ=300,所以 P(120≤X≤300)= 0.682 7+ 0.954 5-0.682 7 2 ≈0.818 6。 因为5 000×0.818 6=4 093,所以可估 计5 000名学生中成绩介于120分到300分 之间的人数为4 093。 ②该宣传语不可信。 因为μ+3σ=240+3×60=420<430, 所以P(X≥μ+3σ)= 1 2 [1-P(μ-3σ≤ X≤μ+3σ)]≈ 1 2 (1-0.997 3)=0.001 35, 所以5 000名学生中成绩大于430分的约有 5 000×0.001 35=6.75(人),即5 000名学 生中会出现约7人的成绩高于430分的“极 端”样本。 所以“我校200人参与此次网络测试,有 10名同学获得430分以上的高分”的说法错 误,即此宣传语不可信。 点评:以应用场景加以创设情境问题,通 过正态分布与排列组合的交汇,实现问题的 综合与应用,得以全面考虑相应的基础知识 与基本技能。 二、正态分布与统计的交汇 例 2 为建立健全国家学生体质健康 监测评价机制,激励学生积极参加身体锻炼, 教育部印发《国家学生体质健康标准》,要求 各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的 《标准》测试工作。为做好全省的迎检工作, 某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测 试,并从中随机抽取了200名学生的数据,根 据他们的健康指数绘制了如图1所示的频率 52 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年3月 分布直方图。 图1 (1)估计这200名 学生健康指数的平均数 􀭺x 和样本方差s2(同一 组数据用该组区间的中 点值作代表)。 (2)由频率分布直 方图知,该市学生的健 康指数X 近似服从正态 分布 N(μ,σ2),其中μ 近似为样本平均数􀭺x, σ2 近似为样本方差s2。 ①求P(50.73<Z<78.54); ②已知该市高三学生约有10 000名,记 体质健康指数在区间(50.73,78.54)内的人 数为ξ,试求E(ξ)。 附:86≈9.27;若随机变量 X 服从正 态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ 0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.955,P(μ -3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997。 解析:(1)由题意可得,􀭺x=40×0.02+ 50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+ 90×0.01=60; s2=(40-60)2×