8.基于概率统计，合理科学决策-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■江苏省宝应县曹甸高级中学 张 飞 在概率与统计的问题中,经常通过实际 应用问题的创设,结合给出的不同方案,要求 借助统计数据,结合概率或统计知识加以合 理决策与判断。在解决此类实际应用问题 中,决策的工具是样本的数字特征及其对应 的几何意义。从样本数据的基本特征入手, 基于概率或统计中的应用问题,合理比较概 率或统计场景下不同方案所对应的数字特征 加以数学运算,进而通过比较来做出合理科 学的决策。 一、与概率相关的决策应用问题 基于概率综合应用问题中的决策方案, 是将概率最大(最小)的方案作为最佳方案, 或相应随机变量的数学期望(或均值)或方差 的大小关系作为方案决策与判断的依据,综 合概率的最值、数学期望或方差的大小等对 应的几何意识加以分析与判断,从而得以做 出科学的决策。 1.概率的大小 例 1 (2023年广东省珠海市香樟中 学高三(上)期末数学试卷)甲、乙、丙三人进 行乒乓球单打比赛,约定:随机选择两人打第 一局,获胜者与第三人进行下一局的比赛,先 获胜两局者为优胜者,比赛结束。已知每局 比赛均无平局,且甲赢乙的概率为1 3 ,甲赢丙 的概率为 1 3 ,乙赢丙的概率为1 2 。 (1)若甲、乙两人打第一局,求比赛局数 X 的概率分布列; (2)求甲成为优胜者的概率; (3)为保护甲的比赛热情,由甲确定第一 局的比赛双方,请你以甲成为优胜者的概率 大为依据,帮助甲进行决策。 解析:(1)由题意知比赛局数 X 的所有 可能取值为2,3,4。 若比赛进行两局结束,则甲连胜两局或 乙连胜两局,所以P(X=2)= 1 3× 1 3+ 2 3× 1 2= 4 9 ; 若比赛进行三局结束,则第二局、第三局 丙连胜,所以P(X=3)= 1 3× 2 3× 1 2+ 2 3× 1 2× 2 3= 1 3 ; 若比赛进行四局结束,则P (X=4) =1 -P(X=2)-P(X=3)= 2 9 。 所以X 的分布列为表1: 表1 X 2 3 4 P 49 1 3 2 9 (2)记甲、乙比赛第一局为事件A,甲、丙 比赛第一局为事件B,乙、丙比赛第一局为事 件C,甲成为优胜者为事件D。 第一局比赛双方可能是甲乙、甲丙、乙丙 共三种情况,则P(A)=P(B)=P(C)= 1 3 。 所以P(D|A)= 1 3× 1 3+ 1 3× 2 3× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 3× 1 3= 5 27 ; P(D|B)= 1 3× 1 3+ 1 3× 2 3× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 3× 1 3= 5 27 ; P(D|C)= 1 2× 1 3× 1 3+ 1 2× 1 3× 1 3= 1 9 。 所以 P(D)=P(AD)+P(BD)+ P(CD)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B) 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年3月 +P(D|C)P(C)= 5 27× 1 3+ 5 27× 1 3+ 1 9× 1 3= 13 81 。 所以甲成为优胜者的概率为 13 81 。 (3)由(2)知,P(D|A)=P(D|B)> P(D|C),所以甲参加第一局比赛成为优胜 者的概率大。 点评:基于概率大小的求解与大小比较 分析,是科学性决策中常用的一种基本方法。 借助实际应用问题的创设,利用概率大小的 求解等综合应用问题,通过概率数值的大小 关系的比较与判断,结合实际问题的场景与 对概率大小的要求等来合理判断与科学决 策,实现实际应用问题的科学解决。 2.数学期望或方差的大小 例 2 (2023年河北省唐山市高考数 学二模试卷)某学校举行“百科知识”竞赛,每 个班选派一位学生代表参加。某班经过层层 选拔,李明和王华进入最后决赛,决赛方式如 下:给定4个问题,假设李明能且只能对其中 3个问题回答正确,王华对其中任意一个问 题回答正确的概率均为 3 4 。由李明和王华各 自从中随机抽取2个问题进行回答,而且每 个人对每个问题的回答均相互独立。 (1)求李明和王华回答问题正确的个数 均为2的概率; (2)设李明和王华回答问题正确的个数 分别 为 X 和 Y,求 X,Y 的 期 望 E(X), E(Y),以及方差 D(X),D(Y),并由此决策 派谁代表该班参加竞赛更好。 解析:由题意知,李明回答问题正确的个 数为2的概率P1= C23 C24 = 1 2 ; 王华回答问题正确的个数为2的概率 P2= 3 4 2 = 9 16 。 所以李明和王华回答问题正确的个数均 为2的概率P=P1P2= 1 2× 9 16= 9 32 。 (2)由题意知,李明回答问题正确的个数 X 的所有可能取值为1,2。 则P(X=1)= C13 C24 = 1 2 ;