7.合理创设场景，巧妙交汇应用——基于独立性检验的考查方式-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄􀥄 ■江苏省扬州市江都区育才中学 徐 俊 概率与统计模块知识的考查方式往往以 实际应用场景为问题情境,结合知识点的交 汇与融合来创新设置,全面考查多个数学基 础知识点及其应用。而独立性检验是高考数 学试卷命题中的一个重要考点,往往可以通 过其与概率、统计及其他相关知识的交汇与 融合,更加全面细致地考查同学们的“四基” 与能力。 一、独立性检验与统计的交汇 例 1 某学校现有 1 000名学生,为调 查该校学生一周使用手机上网时间的情况, 收集了n名学生某周使用手机上网时间的样 本数据(单位:小时)。将数据分为6组:[0, 图1 2],(2,4],(4,6], (6,8],(8,10],(10, 12],并整理得到如 图1所示的频率分 布直方图。 (1)估计该校学 生一周平均使用手机上网时间(每组数据以 该组中点值为代表)。 (2)将一周使用手机上网时间在(4,12] 内定义为“长时间使用手机上网”;一周使用 手机上网时间在(0,4]内定义为“不长时间使 用手机上网”。在样本数据中,有0.25n名学 生不近视。请补充完整该周使用手机上网时 间与近视程度的列联表(表1),并判断是否 有99.9%的把握认为“该校学生一周使用手 机上网时间与近视程度有关”。 表1 近视 不近视 合计 长时间使用手机 不长时间使用手机 0.15n 合计 0.25n 附:K2= (a+b+c+d)(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 。 临界值表(表2): 表2 P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.7063.8416.6357.87910.828 解析:(1)根据频率分布直方图中的数据 信息,可得􀭺x=1×0.025×2+3×0.100×2 +5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075× 2+11×0.025×2=5.8,所以估计该校学生 每周平均使用手机上网时间为5.8小时。 (2)根据题意填写2×2列联表,如表3 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年3月 所示: 表3 近视 不近视 合计 长时间使用手机 0.65n0.10n0.75n 不长时间使用手机 0.10n0.15n0.25n 合计 0.75n0.25n n 若n=100,由表3中的数据可得 K2= 100×(65×15-10×10)2 75×25×75×25 ≈21.78>10.828 , 所以有99.9%的把握认为“该校学生一周使 用手机上网时间与近视程度有关”。 点评:以实际应用问题为情境,借助独立 性检验的创设与应用,合理融入统计知识中 的频率分布直方图、样本估计与平均值的求 解,借助数形结合与数学运算等,综合考查同 学们对概率与统计知识的掌握与应用情况。 二、独立性检验与概率的交汇 例 2 “马街书会”是流行于河南省宝 丰县的传统民俗活动,为国家级非物质文化 遗产之一。每年农历正月十三来自省内外的 说书艺人负鼓携琴,汇集于此,说书亮艺,河 南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有,规 模壮观。为了解人们对该活动的喜爱程度, 现随机抽取200人进行调查统计,得到如表4 所示的列联表: 表4 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 (1)完成表4所示的2×2列联表,并依 据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为 性别与对该活动的喜爱程度有关联? (2)为宣传曲艺文化知识,当地文化局在 书会上组织了戏曲知识竞赛活动。活动规定 从8道备选题中随机抽取4道题进行作答。 假设在8道备选题中,戏迷甲正确完成每道 题的概率都是 3 4 ,且每道题正确完成与否互 不影响;戏迷乙只能正确完成其中的6道题。 ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的 概率; ②设随机变量 X 表示戏迷乙正确完成 题的个数,求X 的分布列及数学期望。 附:K2= (a+b+c+d)(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 。 表5 α 0.1000.0500.0100.005 0.001 xα 2.7063.8416.6357.879 10.828 解析:(1)补全的2×2列联表如表6所示: 表6 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 零假设 H0:性别与对该活动的喜爱程度 无关。 根据 表6中 的 数 据,计 算 得 到 K2= 200×(30×