6.基于问题情境，倡导四种意识——概率与统计的应用-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■武汉经开外国语学校 杨 宇 高考试卷中有关概率与统计的解答题, 往往涉及两点分布、二项分布、超几何分布、 正态分布、回归分析和独立性检验等几种常 见问题,解决这些问题的关键是基于问题情 境,识别模型类型,进而利用函数、方程、不等 式等工具,结合概率与统计知识来分析与解 决。因此,在高三复习备考过程中,同学们必 须强化建模意识、函数意识、方程意识、不等 式意识等,真正落实概率与统计的应用。 一、建模意识 在高考中,概率与统计的综合问题中最 常见的模型是二项分布、正态分布,以及回归 分析和独立性检验等,因此,在高三复习备考 过程中,必须牢牢树立建模意识。 例 1 2021年底,某市城市公园建设 图1 基本完成,为了解市民 对该项目的满意度,从 该市随机抽取若干市民 对该项目进行评分(满 分100分),绘制成如图 1所示的频率分布直方 图,并将分数从低到高 分为四个等级,如表1 所示: 表1 满意度 评分 低于60分60分到79分80分到89分 不低于90分 满意度 等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 (1)若市民的满意度评分相互独立,以满 意度样本估计全市市民的满意度,现从全市 市民中随机抽取5人,求至少2人非常满意 的概率。 (2)相关部门对该项目进行验收,验收的 硬性指标是:全市市民对该项目的满意指数 不低于0.8,否则该项目需要进行整改。请 根据你所学的统计知识,判断该项目能否通 过验收,并说明理由。 注:满意指数= 满意度平均分 100 (3)在等级为不满意的市民中,老年人占 1 3 ,现从该等级市民中按年龄分层抽取9人 了解不满意的原因,并从中选取3人担任督 导员。记X 为老年督导员的人数,求X 的分 布列及数学期望E(X)。 解析:(1)依题意知(0.002+0.004+ 0.015+0.02+a+0.034)×10=1,解得a= 0.025。 设至少2人非常满意为事件A,由题意 知5人中非常满意的人数ξ服从二项分布, 即ξ~B 5, 1 4 ,所以P(A)=1-C05× 34 5 -C15× 3 4 4 × 1 4= 47 128 。 (2)由频率分布直方图可得,满意度平均 分为45×0.02+55×0.04+65×0.15+ 75×0.2+85×0.34+95×0.25=80.5。 满意 指 数 = 满意度平均分 100 =0.805> 0.8,所以该项目能通过验收。 (3)分层抽取9人中老年人有3人,由题 意知X 服从超几何分布,X 的所有可能取值 为0,1,2,3,则有P(X=0)= C36 C39 = 5 21 ;P(X =1)= C26C13 C39 = 15 28 ;P(X=2)= C16C23 C39 = 3 14 ; P(X=3)= C33 C39 = 1 84 。 所以X 的分布列为表2: 表2 X 0 1 2 3 P 521 15 28 3 14 1 84 所以E(X)=0× 5 21+1× 15 28+2× 3 14+ 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年3月 3× 1 84=1 。 点评:本题巧妙融入二项分布、超几何分 布等数学模型,通过频率分布直方图及其他 相关的统计图表加以综合,借助建模意识,实 现问题的分析与解决。 二、函数意识 高考中涉及概率与统计的有关求值、最 值(或范围)等问题时,必须要有函数意识,通 过建立函数关系式,将问题转化为求解函数 值或最值(或范围)等问题来分析与处理。 例 2 某企业计划对甲、乙两个项目共 投资200万元,且每个项目至少投资10万 元。依据前期市场调研可知,甲项目的收益 p(t)(单位:万元)与投资金额t(单位:万元) 满足关系式p(t)=at3+21t;乙项目的收益 g(t)(单位:万元)与投资金额t(单位:万元) 满足关系式g(t)=-2a(t-b)2(b<200)。 设对甲项目投资x 万元,两个项目的总收益 为f(x)(单位:万元),且当对甲项目投资30 万元时,甲项目的收益为180万元,乙项目的 收益为120万元。 (1)求f(x)的解析式。 (2)试问:如何安排甲、乙这两个项目的 投资金额,才能使总收益f(x)最大? 并求出 f(x)的最大值。 解析:(1)由题意可得27 000a+630= 180,解得a=- 1 60 。 当对甲项目投资30万元时,对乙项目投 资170万元,则-2a(170-b)2= 1 30 (170- b)2=120,解得b=110。 设对甲项目的投资金额为x 万元,则对 乙项目的投资金额为(200-x)万元,且有 x≥10, 200-x≥10, 解得10≤x≤190。 所 以 f (x)= - 1 60x 3 + 21x