5.合理交汇融合，概率统计应用——基于频率分布直方图的数据信息处理-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■山东省济南市莱芜第一中学 刘立华 在概率与统计的综合应用问题中,经常 借助频率分布直方图给出相应的数据信息, 通过分析与处理图表中的数据信息,为进一 步解决概率与统计问题提供条件。基于频率 分布直方图的概率与统计的综合问题,成为 高考数学试卷中该模块命题的一种常见题 型,备受各方关注。 一、与样本估计的交汇 例 1 某商场为了制定合理的停车收 费政策,需要了解顾客的停车时长(单位:分 钟)。现随机抽取了该商场到访顾客的100 辆车进行调查,将数据分成6组:(0,100], (100,200],(200,300],(300,400],(400, 500],(500,600],并整理得到如图1所示的 图1 频率分布直方图 (顾 客 的 停 车 时 长均不超过600 分钟)。 (1)求 a 的 值; (2 )若某天 该商场到访顾客 的车辆数为500, 根据频率分布直方图估计该天停车时长在区 间(300,500]内的车辆数; (3)为了吸引顾客,该商场准备给停车时 长较短的车辆提供免费停车服务,若以第30 百分位数为标准,请你根据频率分布直方图, 给出免费停车时长标准的建议(数据取整 数)。 解析:(1)根据频率分布直方图中所有频 率和为1,设(400,500]的频率为x,则由题意 得(0.000 2 +0.001 3+0.001 6+0.003 2+ 0.003 4)×100+x=1,解得x=0.03,所以a = 0.03 100=0.000 3。 (2)样本中停车时长在区间(300,500]内 的频率为0.16+0.03=0.19,则估计该天停 车时长在区间(300,500]内的车辆数是500 ×0.19=95。 (3)设免费停车时间长不超过y 分钟,又 (0,100]的频率为0.13<30%,并且(0,200] 的频率为0.45>30%,则y 位于(100,200] 之间,所以0.13+(y-100)×0.003 2=0.3, 解得y=153.125,所以确定免费停车时间长 为不超过153分钟。 二、与独立性检验的交汇 例 2 近日,某市市民体育锻炼的热情 空前高涨。某学生兴趣小组在8月9日随机 图2 抽取了该市100人,并对 其当天体育锻炼时间进 行了调查,根据调查结果 绘制如图2所示的体育 锻炼时间的频率分布直 方图,锻炼时间不少于40 分钟 的 人 称 为“运 动 达 人”。 (1)估算这100人当天体育锻炼时间的众 数和平均数(每组中的数据用组中值代替); (2)根据已知条件完成表1所示的2×2 列联表,并据此判断是否有95%的把握认为 “运动达人”与性别有关。 表1 非“运动达人” “运动达人” 合计 男性 15 45 女性 合计 附:K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , n=a+b+c+d;临界值表(表2): 表2 P(K2≥k0)0.05 0.01 k0 3.8416.635 解析:(1)由众数的定义可知,这100人 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年3月 当天体育锻炼时间的众数为[30,40)的组中 值,即35。 设这100人当天体育锻炼时间的平均数 为􀭺x,则􀭺x=5×0.10+15×0.18+25×0.22 +35×0.25+45×0.20+55×0.05=29.2。 (2)根据已知条件,可完成表3所示的 2×2列联表: 表3 非“运动达人” “运动达人” 合计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 故 K2 = 100×(30×10-45×15)2 45×55×75×25 ≈ 3.030<3.841,所以没有95%的把握认为 “运动达人”与性别有关。 三、与线性回归的交汇 例 3 某新能源汽车制造公司,为鼓励 消费者购买其生产的汽车,约定从2023年1 图3 月开始,凡购买一 辆该品牌汽车,在 行驶三年后,公司 将给予适当金额的 购车补贴。图3所 示的样本频率分布 直方图是某调研机 构在已经购买的消费者中进行抽样调查而得 到的购车补贴金额的心理预期值。 (1)估计已购买该品牌汽车的消费群体 对购车补贴金额的心理预期值的平均数。 (2)统计2023年1月~5月该品牌汽车 的市场销售量,得其频数分布表如表4所示: 表4 月份 1月2月3月4月5月 销售量(万辆)0.50.61.01.41.7 请预测该品牌汽车在2023年6月份的 销售量约为多少万辆。 附:经验回归方程 ŷ =̂bx+â 中,̂b= ∑ n i=1 (xi -􀭺x)(yi -􀭵y) ∑ n i=1 (xi -􀭺x)2 = ∑ n i=1 xiy