3.高考概率内容考查的经典方法分析-《中学生数理化》高考数学2024年3月刊

■贵州省实验中学 刘朝海 一、独立事件与概率相融合 独立事件是指两个事件的发生与否彼此之 间互不影响。因此,在计算两个独立事件的交 事件的概率时,我们可分别计算两个独立事件 的概率,然后相乘即可。独立事件与概率结合 的常见背景为比赛场局之间胜负的概率计算, 主要特点是涉及事件的情况数较多,讨论可能 相对比较烦琐,会造成思维的混乱。解答这类 问题的关键是:判断事件是否独立,厘清事件所 包含的情况数,牢记不重不漏的原则。 例 1 甲、乙、丙三人进行台球比赛,比赛 规则如下:先由两人上场比赛,第三人旁观,一 局结束后,败者下场作为旁观者,原旁观者上场 与胜者比赛,按此规则循环下去。若比赛中有 人累计获胜3局,则该人获得最终胜利,比赛结 束,三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛,丙 作为旁观者。根据以往经验,每局比赛中,甲、 乙比赛甲获胜的概率为 1 2 ,乙、丙比赛乙获胜的 概率为 1 3 ,丙、甲比赛丙获胜的概率为2 3 ,每局 比赛相互独立且每局比赛没有平局。 (1)比赛完3局时,求甲、乙、丙各旁观1 局的概率; (2)已知比赛进行5局后结束,求甲获得 最终胜利的概率。 解析:(1)由题可知,甲、乙、丙各旁观1 局的概率即为甲、乙、丙各胜1局的概率。 设甲、乙比赛甲胜,乙、丙比赛乙胜,丙、 甲比赛丙胜分别为事件A,B,C,则A,B,C 相互独立。 设比赛完3局时,甲、乙、丙各胜1局为 事件 M,则 M =AC∪AB,所以 P(M)= P(AC)+P(AB)=P(A)P(C)+P(A)P(B) = 1 2× 2 3+ 1- 1 2 × 1-13 =23,故甲、 乙、丙各旁观1局的概率为 2 3 。 (2)设甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为 事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3,4,5。 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件 D,则 D=B1B2A3A4A5+B1C2A3A4A5+ A1A2B3B4A5+A1A2B3C4A5+A1C2C3A4A5+ A1C2B3A4A5。 因为P(B1B2A3A4A5)=P(B1)P(B2)· P(A3)P(A4)P(A5)= 1 2× 1 3× 1 2× 1 3× 1 2 = 1 72 ,P(B1C2A3A4A5)=P(B1)P(C2)· P(A3)P(A4)P(A5)= 1 2× 2 3× 1 3× 1 2× 1 3 = 1 54 ,P(A1A2B3B4A5)=P(A1)P(A2)· P(B3)P(B4)P(A5)= 1 2× 1 3× 1 2× 1 3× 1 2 = 1 72 ,P(A1A2B3C4A5)=P(A1)P(A2)· P(B3)P(C4)P(A5)= 1 2× 1 3× 1 2× 2 3× 1 3 = 1 54 ,P(A1C2C3A4A5)=P(A1)P(C2)· P(C3)P(A4)P(A5)= 1 2× 2 3× 2 3× 1 3× 1 2 = 1 27 ,P(A1C2B3A4A5)=P(A1)P(C2)· P(B3)P(A4)P(A5)= 1 2× 2 3× 1 3× 1 2× 1 3 = 1 54 ,所以P(D)= 1 72+ 1 54+ 1 72+ 1 54+ 1 27+ 1 54= 13 108 。 所以比赛进行5局后结束,甲获得最终 胜利的概率为 13 108 。 二、条件概率与概率相融合 条件概率是指在已知某事件发生的情况下, 求另一个事件的概率。条件概率问题的主要难 点在于事件发生的先后顺序,会造成不同的影响。 解决这类问题的步骤:(1)计算条件事件的概率; 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年3月 (2)计算条件事件和欲求事件的交事件的概率; (3)利用条件概率的公式计算。解决这类问题的 关键是:首先,分清楚谁是条件,谁是要求的事件 概率;其次,关注随机变量的不同取值会造成事件 的发生过程会有影响。另外,对于正面考虑相对 比较复杂的题目可以考虑反面进行解决。 例 2 为了提升学生的综合素养能力,学 校积极为学生搭建平台,组织学生参与各种社团 活动。在学校辩论队活动中,学生甲积极参与,为 了更好地了解每个学生的社团参与情况和能力 水平,对每位参与辩论队的学生进行跟踪记录。 社团老师了解到,甲自加入辩论队以来参加过 100场辩论比赛:甲作为一辩出场20次,其中辩 论队获胜14次;甲作为二辩出场30次,其中辩论 队获胜21次;甲作为三辩出场25次,其中辩论队 获胜20次;甲作为四辩出场25次,其中辩论队获 胜20次,用该样本的频率估计概率。 (1)当甲参加比赛时,求该辩论队某场比 赛获胜的概率。 (2)现学校组织6支辩论队,进行单循环 比赛,即任意两支队伍均有比赛,规定至少3 场获胜才可晋级。社团老师决定每场比