15.涂色问题的解题技巧-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

■江苏省张家港中等专业学校 张 娴 韩文美 排列组合中有一类常见问题———涂色问 题,此类问题基于两个计数原理与排列组合 知识,关注图形的结构特征,解决方法技巧性 强且灵活多变,有利于培养同学们的创新思 维能力、分析问题与观察问题以及解决问题 的能力,已成为数学命题中比较常见的一类 基本题型,备受各方关注。 1.直线型涂色问题 图1 例 1 (2022—2023 学年江苏省常州一中高二 下学期段考数学试卷)现 有6种不同的颜色,给图1中的5个格子涂 色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用4种 颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的 涂色方法共有 种。 分析:根据题设条件,选出的颜色可以是 2种,3种或者4种,依次通过直线型的图形 结构特征求出方法数,通过分类法求和,即可 得以分析与求解。 解:由题意选出的颜色可以是2种,3种 或者4种,规定左边起为第一个空,不同情况 如下。 当选出2种颜色时,第一个空有2种选 择,第一个空颜色确定后,其余空颜色就确定 了,共有C26×2=30(种)方法。 当选出3种颜色时,第一个空有3种选 择,第二个空有2种选择,第三个空可分为与 第一个空颜色相同和不同的情况,第四个空 和第五个空都各有2种选择,但要去掉整体 只用 了 2 种 颜 色 的 情 况,共 有 C36C13C12· (C12C12+C12C12)-2C36C23=840(种)方法。 当选出4种颜色时,必有2种颜色相同, 可采用插空法,将这2种相同颜色去插入另 外3种颜色形成的空,共有C46C14A33C24=2 160 (种)方法。 综上分析,不同的涂色方法共有30+ 840+2 160=3 030(种)。 点评:直线型涂色问题往往从第一个位 置入手,逐一分析,在前一个已涂色的条件下 涂下一个位置,注意对不同位置的分析加以 合理分类讨论与分步处理,进而确定直线型 涂色问题的种数。 2.区域型涂色问题 图2 例 2 (2022—2023学年 湖北省武汉市高二下学期期中 数学试卷)七巧板是古代劳动 人民智慧的结晶。图2是某同 学用木板制作的七巧板,它包 括5个等腰直角三角形、一个 正方形和一个平行四边形。若用四种颜色给 各板块涂色,要求正方形板块单独一色,其余 板块两块一种颜色,而且有公共边的板块不 同色,则不同的涂色方案有 种。 分析:根据题设条件,先对七巧板中的不 同区域加以合理标记,并通过画图分析其中 四板块A,B,C,D 必涂上不同颜色,再根据 分类、分步计数原理计算剩下的部分即可得 以分析与求解。 解:由题意知,对七巧板中的不同区域加 以合理标记,如图3所示。 93 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月 图3 由于一共4种颜色,板块 A 需单独一色,剩下6个板块 中每2个区域涂同一种颜色, 且板块 B,C,D 两两有公共 边不能同色,故板块A,B,C, D 必定涂不同的颜色。 ①当板块 E 与板块C 同色时,则板块 F,G 与板块B,D 或板块D,B 分别同色,共 有2种情况。 ②当板块E 与板块B 同色时,则板块F 只能与D 同色,板块G 只能与C 同色,共1 种情况。 又板块 A,B,C,D 颜色可排列,故共 (2+1)×A44=72(种)方案。 点评:区域型涂色问题,应该给区域依次 标上相应的序号,以便分析问题。在给各区 域涂色时,要注意不同的涂色顺序,其解题就 有繁简之分。在实际解答时,应按不同的涂 色顺序多多尝试,看哪一种最简单。 3.立体型涂色问题 图4 例 3 (2024届上 海市七宝中学高三上学 期期中数学试卷)某数学 兴趣小组用纸板制作正 方体教具,如图4所示, 现给图中的正方体展开 图的6个区域涂色,有红、橙、黄、绿4种颜色 可选,要求制作出的正方体相邻面所涂颜色 均不同,共有 种不同的涂色方法。 分析:根据题设条件,由正方体展开图的 平面图形回归正方体的立体图形,先从涂A 入手,再分C 与F 同色、C 与F 不同色两种 情况讨论,利用分步、分类计数原理分析与运 算可得答案。 图5 解:如图5所示,还 原回正方体后,D、B 为 正方体的前后两个对面, A、E 为正方体的左右两 个对面,F、C 为正方体 的上下两个对面,先涂A 有4种涂法。 ①当C 与F 同色时,涂C 有3种涂法, 若D 与B 同色,则有2种涂法,最后涂E 有 2种涂法;若 D 与B 不同色,则有 A22 种涂 法,最后涂E 有1种涂法。 则有4×3×(2×2+A22×1)=72(种)涂 法。 ②当C 与F 不同色时,涂C 有3种涂 法,涂F 有2种涂法,此时D 与B 必同色且 只有1种涂法,E 也只有1种涂法。 则有4×3×2×1×1=24(种)涂法。 综上分析可得,一共有