14.利用二级结论 优解椭圆小题——2023年高考数学甲卷理科第12题解法探究-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

利用二级结论　优解椭圆小题 ——2023年高考数学甲卷理科第12题解法探究 ■甘肃省张掖市实验中学 王新宏 圆锥曲线试题是高考数学的必考试题, 是重点也是难点。大部分同学对其有畏惧心 理,找不到解决的突破口。2023年高考数学 甲卷理科第12题是一道椭圆压轴小题,它以 椭圆焦点三角形为背景,考查椭圆的定义、余 弦定理、焦点三角形等知识,题干简洁,设问 直接,内涵丰富。本题入手比较容易,方法比 较多,考查同学们理性思维与数学探究能力, 体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心 素养。解决本题的关键在于数形结合,即可 考虑用余弦定理,也可考虑焦半径公式、焦点 三角形面积公式、中线的向量公式、中线定 理、极化恒等式等相关二级结论迅速求解。 试题凝聚了命题专家的心血与智慧,简约而 不简单,为不同能力水平的同学提供了相应 的思考空间,是一道独具匠心的好题。 1.试题呈现 2023年高考数学甲卷理科第12题: 图1 如图1所示,设 O 为 坐 标 原 点,F1, F2 为椭圆C: x2 9+ y2 6 =1的两个焦点,点 P 在 椭 圆 C 上, cos ∠F1PF2 = 3 5 , 则|OP|=( )。 A. 13 5 B. 30 2 C. 14 5 D. 35 2 2.解法探究 解法1:(挖出两角互补这个隐含条件) 由椭圆方程知a2=9,b2=6。 因为c2=a2-b2,所以a=3,c= 3,e= c a= 3 3 。 在△PF1F2 中,由余弦定理得: cos ∠F1PF2= |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| 。 则 3 5= |PF1|2+|PF2|2-(23)2 2|PF1|·|PF2| = (|PF1|+|PF2|)2-12 2|PF1|·|PF2| -1。 所 以 8 5 = 36-12 2|PF1|·|PF2| = 12 |PF1|·|PF2| ,解得|PF1|·|PF2|= 15 2 。 在△POF1 和 △POF2 中,∠POF1 + ∠POF2=π,由余弦定理得: |PO|2+|OF1|2-|PF1|2 2|PO|·|OF1| =- |PO|2+|OF2|2-|PF2|2 2|PO|·|OF2| 。 解得|PO|2= 15 2 ,所以|OP|= 30 2 。 点评:解 题 的 关 键 是 发 现 ∠POF1 + ∠POF2=π,cos ∠POF1=-cos ∠POF2 这样的隐含条件,它往往能帮助整个题目的 顺利求解。 解法2:(借焦半径之力) 同解法1,可得|PF1|·|PF2|= 15 2 。 设P(xP,yP),则由焦半径公式得|PF1| =a+exP=3+ 3 3xP ,|PF2|=a-exP=3- 3 3xP ,所以9- 1 3x 2 P= 15 2 ,得x2P= 9 2 。 将P(xP,yP)的坐标代入椭圆方程得 y2P=3,所以|OP|= x2P+y2P = 9 2+3= 30 2 ,选B。 点评:二级结论之焦半径公式:椭圆x 2 a2 + 63 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月 y2 b2 =1(a>b>0)的两个焦点为F1(-c,0), F2(c,0),其上一点 P(x0,y0),则|PF1|= a+ex0,|PF2|=a-ex0。 证明 过 程:|PF1|= (x0+c)2+y20 = (x0+c)2+b2- b2x20 a2 = c2x20 a2 +2cx0+a2 = cx0 a +a 2 = cx0 a +a =ex0+a。 同理可证|PF2|=a-ex0。 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式为 |PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0。 解法3:(与焦点三角形面积公式结合) 设 ∠F1PF2 =2θ,0<θ< π 2 ,所 以 S△PF1F2=b 2tan ∠F1PF2 2 =b 2tan θ。 由cos∠F1PF2=cos 2θ= cos2 θ-sin2 θ cos2 θ+sin2 θ = 1-tan2 θ 1+tan2 θ = 3 5 ,解得tan θ= 1 2 或- 1 2 (舍去)。 由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2- b2=3。 所以,S△PF1F2= 1 2×|F1F2|×|yP|= 1 2×23×|yP|=6× 1 2 ,解得y2P=3。 则x2P=9× 1- 3 6 =92。 因此,|OP|= x2P+y2P = 3+ 9 2 = 30 2 ,故选B。 点评:二级结论之椭圆焦点三角形面积 公式:椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的两个焦点 为F1(-c,0),F2(c,0),其