12.导数选择题的常用解题策略-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

导数选择题的常用解题策略 ■安徽省阜阳第一中学 赵 慧 在高考试卷中,选择题占有相当大的比 例,而有关导数的选择题一般有一定的综合 性与深度,对知识与素养要求较高。因此,做 好导数选择题对取得高分尤为必要。 解导数选择题的基本原则是准确、迅速。 在解答时,应结合导数知识本身的特点,尽量 减少书写过程,灵活、快速地得出答案。下面 是解导数选择题的常用策略。 一、按部就班,常规处理 例 1 (2022年新高考Ⅰ卷)(多选)已 知函数f(x)=x3-x+1,则( )。 A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x 是曲线y=f(x)的切线 解析:f'(x)=3x2-1,令f'(x)=0,得x= ± 3 3 。所以f(x)在 -∞,- 3 3 上单调递增, 在 - 3 3 ,3 3 上单调递减,在 33,+∞ 上单调 递增,f(x)有两个极值点,选项A正确。 易知f - 3 3 >0,f 33 >0,且x→ -∞,f(x)→-∞,故f(x)只有一个零点, 选项B错误。 对于选项C,验证知f(-x)+f(x)=2 成立,于是选项C正确。 令g(x)=x3-x,g(x)是奇函数,关于 点(0,0)对称。而y=g(x)的图像向上平移 一个单位长度得到y=f(x)的图像,所以 y=f(x)关于点(0,1)对称。 令f'(x)=2,得x=±1。当x=1时, 切线为y=2x-1;当x=-1时,切线为y= 2x+3。选项D错误。 故选AC。 评注:大部分选择题会使用此策略。 二、数形结合,直观快捷 例 2 (2021年新高考Ⅰ卷)若过点(a,b) 可以作曲线y=ex 的两条切线,则( )。 A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 图1 解 析:如 图1,作出函数 y=ex 的图像。 函数 y= ex 的图像与x 轴把坐标平面 分成如图1的 三个区域。 当点(a,b)位于区域1时,作不出切线; 当点(a,b)位于区域2时,可作两条切 线; 当点(a,b)位于区域3时,可作一条切 线。 选 D。 评注:此题数形结合明显比常规做法快捷。 三、构造函数,妙用结论 例 3 (2022年全国甲卷)已知a=3132 , b=cos 1 4 ,c=4sin 1 4 ,则( )。 A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 解析:解导数题时,常用到以下重要结 论:当0<x< π 2 时,sin x<x<tan x;ex≥ x+1;ex≥ex;ln x≤x-1;ln x≤ 1 ex 。 b-c=4cos 1 4 1 4-tan 1 4 <0,即c>b。 a-b= 31 32-cos 1 4=1- 1 2× 1 4 2 - cos 1 4 。 令f(x)=1- 1 2x 2-cos x0≤x≤ 1 4 。 f'(x)=sin x-x≤0,所以f(x)在区间 0, 1 4 上单调递减,f 14 <f(0)=0,b>a。 故选A。 13 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月 评注:选择题只求结果,不考过程,解题 时应用积累的结论可节省时间。 四、选取对数,简化运算 例 4 若 任 意 x,a∈ (0,+ ∞), eax+2ab≥a2x,则b的取值范围为( )。 A.1e ,+∞ B.12e,+∞ C. 1 e2 ,+∞ D. 12e2,+∞ 解析:不等式eax+2ab≥a2x,两边取对数 得ax+2ab≥ln a2+ln x,即ax-ln x+ 2ba-2ln a≥0。 令f(x)=ax-ln x+2ba-2ln a,由 f'(x)= ax-1 x =0 ,得x= 1 a 。易得f(x)min =f 1 a =1+2ba-ln a≥0,分离参数得 2b≥ ln a-1 a 。令g(a)= ln a-1 a ,由g'(a) = 2-ln a a2 =0,得 a=e2,易 得 g(a)max= g(e2)= 1 e2 。于是2b≥ 1 e2 ,即b≥ 1 2e2 ,选D。 评注:数学中取对数可降低运算级别,达 到简化运算的效果。 五、局部入手,先分后合 例 5 已知函数f(x)=ea-x+x 2 2+4x- ln(x+4)+e x-a+2ln 15 4存在零点,则a=( )。 A.-2 B.ln 15 4-2 C.-3 D.ln 15 4-3 解析:令g(x)=ea-x+e x-a+2ln 15 4,φ(x)= x2 2 + 4x - ln (x + 4)。g (x)≥