10.对一道椭圆试题的解题反思-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

■安徽省安庆市洪汪宝名师工作室 洪汪宝 在平时的数学学习中,有些同学喜欢大 量刷题,但数学成绩并不理想,而有些同学平 时做题并不多,数学成绩却很好,对比发现, 后者更喜欢问为什么。数学是一门思维很强 的学科,同学们解数学题时一定要养成解题 反思的习惯,不能就题论题。如何进行解题 反思呢? 解题反思要思考什么? 下面结合一 道具体的椭圆试题谈谈如何进行解题反思。 一、题目呈现 题目:在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在椭圆上,当△MF1F2 的面积 最大 时,∠F1MF2=120°,且 最 大 面 积 为 23。 (1)求椭圆C 的标准方程; (2)直线l:x=2与椭圆C 交于第一象 限点N,A 是第四象限的点且在椭圆C 上, 线段AB 被直线l垂直平分,直线 NB 与椭 圆C 交于另一点D,求证:ON∥AD。 分析:本题主要考查椭圆的几何性质、椭 圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线 与直线的位置关系等多个知识点,对同学们 的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和 解决问题等多种思维能力要求比较高,考查 基础知识,同时考查基本技能与基本方法,考 查待定系数法、坐标法等解题方法,同时考查 数形结合思想、转化与化归思想等数学思想 方法,基础性与综合性并举。 第一问是常规问题,结合图形分析发现 点 M 位于短轴端点时,△MF1F2 的面积最 大,即可得到a,b,c之间的等量关系。第二 问先根据题意,作出图形,要证ON∥AD,只 需证明两者的斜率相等即可。又点 N 的坐 标(2,1)确定,直线ON 的斜率等于 1 2 ,故只 需证明直线AD 的斜率为 1 2 即可,第二问实 际上是一道定值问题。 二、解题反思 2.1思考解法 解:(1)当△MF1F2 的面积最大时,点 M 是椭圆短轴的端点。 于是 可 得 c= 3b, 1 2×2c×b=23 , a2=b2+c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解 得a= 22,b= 2,c= 6。 所以椭圆C 的标准方程为 x2 8+ y2 2=1 。 (2)解法1:由题意知点N(2,1)。 设直线 ND:y=k(x-2)+1,即y= kx-2k+1,根据条件可知 NA:y=-kx+ 2k+1。 设D(x1,y1),A(x2,y2)。 联立 x2 8+ y2 2=1 , y=kx-2k+1, 消 去 y 得 (1+ 4k2)x2+(8k-16k2)x+16k2-16k-4=0。 根据韦达定理知2x1= 16k2-16k-4 1+4k2 , 故x1= 8k2-8k-2 1+4k2 。 同理,x2= 8k2+8k-2 1+4k2 。 42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月 又y1=kx1-2k+1,y2=-kx2+2k+ 1,故 直 线 AD 的 斜 率 kAD = y1-y2 x1-x2 = k(x1+x2)-4k x1-x2 = k· 16k2-4 1+4k2 -4k -16k 1+4k2 = 1 2 。 又kON= 1 2 ,故ON∥AD。 解法2:设AD:y=kx+m,A(x1,y1), D(x2,y2)。 联 立 y=kx+m, x2 8+ y2 2=1 , 消 去 y,得 (1+ 4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。 根据韦达定理得 x1+x2=- 8km 1+4k2 , x1x2= 4m2-8 1+4k2 。(*) 因为线段AB 被直线l:x=2垂直平分, 所以B(4-x1,y1)。 于是ND→=(x2-2,y2-1),NB→=(4- x1-2,y1-1)=(2-x1,y1-1)。 因为直线NB 经过点D,ND→∥NB→,所以 (x2-2)(y1-1)=(2-x1)(y2-1)。 又y1=kx1+m,y2=kx2+m,于 是 2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1) =0。 将(*)代入上式,并整理得2k(4m2- 8)-8km(m-1-2k)-4(m-1)(4k2+1)= 0,即(2k-1)(2k+m-1)=0。 因为 直 线 AD 不 过 点 N(2,1),所 以 2k+m-1≠0,于是2k-1=0即k= 1 2 。 又kON= 1 2 ,故ON∥AD。 评注:第二问的解法1抓住直线 ND 与 NA 关于直线x=2对称,得到这两条直线的 斜率互为相反数,将直线 ND 的方程与椭圆 方程联立,借助韦达定理求出点 D 的坐标, 即可求出点A 的坐标,于是利用斜率公式即 可求出直线AD 的斜率,体会设而不求的解 题思路。解法2直接设直线 AD 的方程,借 助 N,D,B 三点共线得到向量关系,体会