9.二项式定理中的赋值技巧-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

■河南省许昌市建安区第一高级中学 丁书珍 ■河南省鄢陵县第二高级中学 刘俊霞 在二项式定理的求值问题中,尤其是求 解二项展开式的系数和等问题时,我们常常 采用赋值法求解。即对二项展开式中的相关 字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及 与之相关的综合问题,在选择性必修三课本 中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入 手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便 同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧。 已知(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+ Cnnxn,令x=1,得 2n=C0n+C1n+C2n+…+ Cnn。 这就是说, (a+b)n 的展开式的各二项 式系数的和等于 2n。 例 1 求证:在(a+b)n 的展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项 式系数的和。 解析:奇数项的二项式系数的和为C0n+ C2n+C4n+…; 偶数项的二项式系数的和为C1n+C3n+ C5n+…。 由 于 (a +b)n = C0nan + C1nan-1b+ C2nan-2b2+…+Cnnbn 中的a,b可以取任意实 数,因此我们可以通过对a,b适当赋值来得 到上述两个系数和。 在展开式(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+ C2nan-2b2+…+Cnnbn 中,令a=1,b=-1,得 (1-1)n=C0n-C1n+C2n+…+(-1)kCkn+… +(-1)nCnn。 即(C0n+C2n+C4n+…)-(C1n+C3n+C5n +…)=0。 因此,C0n +C2n +C4n + …=C1n +C3n + C5n+…。 故在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二 项式系数之和等于偶数项的二项式系数之 和。 点评:实际上,a,b 既可以取实数,也可 以取多项式。我们可以根据具体问题的需要 灵活选取a,b 的值。 例 2 已知(3x-1)8=a8x8+a7x7 +…+a1x+a0,求下列各式的值: (1)a8+a7+…+a1+a0; (2)|a8|+|a7|+|a6|+…+|a0|; (3)a1+a3+a5+a7。 解析:(1)令x=1,得a8+a7+…+a1+ a0=(3-1)8=28=256。 (2)因为|a8|+|a7|+|a6|+…+|a0| =a8-a7+…-a1+a0,所以令x=-1,得: |a8|+|a7|+|a6|+…+|a0|=a8- a7+…-a1+a0=(-3-1)8=48=65 536。 (3)由(1)和(2)知: a8+a7+…+a1+a0=(3-1)8=28, a8-a7+…-a1+a0=(-3-1)8=216。 则a1+a3+a5+a7= 28-216 2 =2 7-215= -32 640。 点评:赋值法是求二项展开式系数和及 有关问题的常用方法,注意取值要有利于问 题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取 几组值,解决问题时要避免漏项。同时,要注 意问题的实质及变形,如求各项系数的绝对 值的和时,要先根据绝对值里面数的符号赋 值求解。同时注意这类问题的变形写法,如: |a8|+|a7|+|a6|+…+|a0|=a8-a7+… -a1+a0=(a8+a6+a4+…)-(a7+a5+ a3+…)等。对于比较繁杂式子的求值问题, 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月 要先观察式子的特点,结合所学知识如因式分 解等,对式子进行因式分解,再赋值求解。 例 3 已知(2- 3x)100=a0+a1x+ a2x2+…+a100x100,求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a2+a4+…+a100; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+… +a99)2。 解析:(1)令x=0,可得a0=2100。 (2)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+ a4+…+a100=(2- 3)100。 所以 a1+a2+a3+a4+ … +a100= (2- 3)100-2100。 (3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+ a4+…+a100=(2+ 3)100。 结合(2)可得: a0+a1+a2+a3+a4+…+a100=(2-3)100, a0-a1+a2-a3+a4+…+a100=(2+3)100。 则 a0 + a2 + a4 + … + a100 = (2- 3)100+(2+ 3)100 2 。 由(1)知a0=2100。 所 以 a2 + a4 + … + a100 = (2- 3)100+(2+ 3)100 2 -2 100。 (4)由(2)知a0+a1+a2+a3+a4+…+ a100=(2- 3)100。 由(3)知a0-a