8.浅析排列组合中分组分配问题的解题策略-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

浅析排列组合中分组分配问题的解题策略 ■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 排列组合问题是高考数学中的必考题 型,题型多变,解题方法也多种多样。其中分 组分配问题是排列组合中的一类综合性问 题,也是排列组合中的难点,两者之间既有区 别又有联系,稍不留意就会引发混淆。为了 解决这一棘手问题,下面将结合几个例题谈 一谈解答分组分配问题的策略。 一、分组问题 1.完全均匀分组 例 1 6本不同的书,按下列要求分 配,求各有多少种不同的分法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本; (2)分为三份,每份2本。 解析:(1)将6本不同的书分给甲、乙、丙 三人,每人2本,可以分为三步完成:第一步, 先从6本书中选2本给甲,有C26 种选法;第 二步,从剩余的4本中选2本给乙,有C24 种 选法;第三步,最后剩余的2本给丙,有C22 种 选法。由分步乘法计数原理知,共有C26C24C22 =15×6×1=90(种)不同的分法。 (2)本题属于无序均匀分组问题。按有 序分组,则有C26C24C22 种方法,但出现了重复。 不妨记6本书为A,B,C,D,E,F,第一步取 AB,第二步取CD,第三步取EF,记该种分 法为 (AB,CD,EF)。但 还 有 (AB,EF, CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF, AB,CD),(EF,CD,AB),这A33 种情况只能 记为一种方法。 故分配方法有 C26C24C22 A33 =15(种)。 2.部分均匀分组 例 2 2023年亚运会在杭州举办期 间,将6位志愿者分成四组,其中两组各2 人,另两组各1人,分赴亚运会的4个不同场 馆服务,不同的分配方案的种数为( )。 A.4 320 B.1 080 C.180 D.90 解析:将6位志愿者分成四组,其中两组 各2人,另两组各1人,有 C26C24C12C11 A22A22 =45(种) 方法,进而将其分配到4个不同场馆,有A44= 24(种)方法。由分步计数原理可得,不同的 分配方案有45×24=1 080(种)。选B。 点评:该问题属于先平均分组(堆)再分 配的问题,先将6位志愿者分成四组,其中两 组各2人,另两组各1人,再将其分配到4个 不同场馆即可。在分组过程中,要注意分组 重复的情况,理解C 2 6C24C12C11 A22A22 中分母的意义。 3.完全非均匀分组 例 3 要把9本不同的课外书分给甲、 乙、丙3名同学,如果要求一人得4本,一人 得3本,一人得2本,则不同的分法共有多少 种? 解析:要完成分配任务,可以分为两步: 第一步,将9本书按照4本、3本、2本分为三 组,有C49C35C22 种方法;第二步,将分好的3组 书分别给3个人,有A33 种方法。 因此,不 同 的 分 法 数 为 C49C35C22A33 = 9×8×7×6 4×3×2×1× 5×4 2×1×1×3×2×1=7 560。 点评:完全均匀分组和部分均匀分组在 计数过程中易出现重复现象,注意计算公式 的应用。重复的次数是均匀分组的阶乘数, 即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以 m!。关于分组问题,有完全均匀分组、完全 非均匀分组和部分均匀分组三种:①完全均 匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀 分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组, 这种分组不考虑重复情况。无论分成几组, 应注意只要有一些组中元素的个数相等,就 存在均分现象,解决这类问题必须按照均匀 分组的公式来解决。 例 4 将6本不同的书分给甲、乙、丙、 丁4个人,每人至少一本的不同分法共有 02 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月 种。 解析:先把6本不同的书分成4组,再分 给4个人,但该题易出错的地方有两个:一是 分组考虑不全造成漏解,分组方式有2种,即 3,1,1,1与2,2,1,1;二是2,2,1,1分组时, 忽视均匀分组问题造成增解。 把6本不同的书分成4组,每组至少一 本的分法有2种。 ①1组有3本,其余3组每组1本,不同 的分法共有C36· C13C12C11 A33 =20(种); ②有2组每组2本,其余2组每组1本, 不同的分法共有 C26C24 A22 ·C 1 2C11 A22 =45(种)。 不同的分组方法共有20+45=65(种)。 然后把分好的4组分给4个人,所以不 同的分法共有65×A44=1 560(种)。 二、分配问题 1.相同元素的分配问题 相同元素的分配问题,常用“隔板法”,即 将n 个相同的元素分成m 份(n,m 为正整 数),每份至少一个元素,可以用 m-1块隔 板,插入n个元素排成一排形成的n-1个空 隙中,共有Cm-1n-1 种方法。 例 5